25.4相似三角形的判定能力点1判断两个三角形相似的基本思路题型导引要判断两个三角形相似，一般的思考方法是：先考虑是否有两对角对应相等；如果只有一对角对应相等，再看夹这个角的两边是否成比例；如果不能确定出对应角相等，再看三组对应边是否成比例．警误区：当两个三角形有两边对应成比例，只有当这两边的夹角相等时，两个三角形才相似．【例1】在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①＝；②＝；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有__________组．解析：①与②，满足＝＝，能判定△ABC∽△A′B′C′；③与④，满足∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.能判定△ABC∽△A′B′C′；②与④满足＝，∠C＝∠C′，能判定△ABC∽△A′B′C′，共有3组．答案：3规律总结根据相似三角形的三种判定方法选择合适的条件．判定两个三角形相似的思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑相似三角形的“传递性”．变式训练如图，已知△ABC的两条高BD，CE相交于点O.求证：△AED∽△ACB.分析：在△AED和△ACB中，有公共角∠A，但很难再找出一组角对应相等，故需证明夹∠A的两边对应成比例．证明：∵∠ADB＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE.∴＝.又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB.能力点2比例式与等积式题型导引1.证明比例式(1)如果构成比例式的四条线段在两个三角形中时，可通过证明这两个三角形相似得到；(2)当构成比例式的四条线段不在两个三角形中时，可考虑寻找中间比或用相等的线段替代题目中的线段．2．证明等积式在证明等积式时，首先要根据比例的基本性质把等积式化为比例式，然后再利用(1)中的方法求解．【例2】已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，AC上的两点，并且AD·AB＝AE·AC，证明：ED⊥AB.分析：要证ED⊥AB，即要证∠ADE＝90°，即△ADE∽△ACB.证明：∵AD·AB＝AE·AC，∴＝.又∵∠A是△ABC和△AED的公共角，∴△ABC∽△AED.∴∠ADE＝∠C＝90°，即ED⊥AB.规律总结对于几何证明中遇到等积式时，一般把等积式改写成比例式，然后证明三角形相似，再利用相似三角形证明线段成比例．变式训练如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.求证：(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD.分析：等积式AC2＝AD·AB可化为＝，其中分子上的AC，AB在△ABC中，分母上的AD，AC在△ACD中，因此可通过证明这两个三角形相似得到．利用同样的方法可证明(2)和(3)．证明：(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB.又∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC.∴＝，即AC2＝AD·AB.(2)易证△BCD∽△BAC，∴＝，即BC2＝BD·AB.(3)易证△ADC∽△CDB，∴＝，即CD2＝AD·BD.
