浅谈平面几何中矛盾的转换余莹线段间量的关系是几何学研究的基本课题之一。本文试图用矛盾的转换观点剖析关系式的结构特点，探讨几种颇有成效的证法。一、对等法对等的数学含义是指给定条件下引发的诸种情形具有同等的地位，推理过程有“平行”的独立性，结论表现出“相似”的一致性。例1.菱形ABCD的对角线BD等于菱形的边长，过顶点C在形外作直线分别交AB、AD于M和N，BN与DM交于P。求证：圆BPM与圆DPN的半径之积等于菱形边长平方的三分之一。设菱形的边长为a，圆BPM与圆DPN的半径分别为和。命题的题断即可表示为：。解析：推出这个式子，要解决两个矛盾。第一，式中的常数如何处理？注意到圆BPM与圆DPN处在对等状况！题断可以改写为对等式：第二，这个等式如何落实？当MN//BD时，构成轴对称图形，其中圆BPM、圆DPN分别处于两个相似的正三角形BMC和DNC中，因，而满足。对于一般情形，、是变量，随MN的位置而变化，它们各自与定数a无确定关系，上述的推理不适用，但对等意义并没有失去，作为一种重要的数学思想和方法，可以被借鉴。由菱形性质知：△BMC∽△DCN，有BM·DN=BC·DC=a·a，于是题断转换为新对等式：BM·DN=。为使BM=，成立，只须证明∠BPM=60°，这个思维的集中点是容易解释的。∠BPM=60°。二、平衡法当线段相关式两边的项数或系数不相同时，为便于考查对比，总希望在结构形式上能“同一”化。这种心理的直观要求反映到思维活动中就是平衡法。例2.在圆O的直径MN延长线上截取MA=OM，作AB⊥OA，引BC切圆O于C，作PM⊥OA交BC于P。求证：。解析：题断两边的项数相同，一般不再拆项分离，尽量避免新添不必要的麻烦，不妨试将常数2化并到PB（或PC）中去，变成比例中项式：或。此时因PA不垂直BC，不能使用射影定理，可进一步对PA采取相应地加倍措施，借助于相交弦定理。证法一：如图2所示，延长PC到E使CE=CP，延长AP至F使PF=PA。题断即转换为：PA·PF=PB·PE，为此只要证明∠1=∠2，这可由条件得到递推简略式为：∠1=∠3=∠4=∠5=∠6=∠2。其中∠4=∠5是因为PE=OF（=2·PM），使△POE与△OPF等腰且相似。证法二：如图3所示，延长PB至E，使BE=PB，延长OP至F，使PF=OP（=PA）。原题断转换为PO·PF=PC·PE。注意到FA、BA都垂直于OA而平行重合，且∠1=∠2，∠3=∠4，即∠1+∠3=90°，于是△PEF∽△POC。得证命题。比较两种证法，后者抓住垂直条件的主线索，思维过程简捷清晰。三、降（升）幂法线段与实数是一一对应的，任何线段在量度上都可以表示成其他线段的一次齐次解析式。根据线段的尺规作图理论，线段间这种相关式总能够通过五种（加、减、乘、除、开平方）代数运算而最终获得。对一些关系式如果两边的幂指数不一致或者即使幂指数相同为了证明方便，有时需要采用适当的降（升）幂的方法。先将较高（低）次幂的项降（升）幂化为常见的基本形式，然后进行有机地融合归总。例3.直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，圆（CD）分别交AC、BC于E、F。求证：。解析：题中条件的特点明显的给出几个直角三角形以及切、割线。可以提供射影定理。而题断的左边是线段的三次幂比，自然要降去一次幂，得到。剩下的左边比有多种替代比，如何选择？右边比用什么比替代能较好的表达它与比的联系？这时考虑到和的结果，可将上式两边同时升幂二次（平方），由。立即推出题断。当然对左边作一次性处理，降到一次幂比。连结DE、DF可由相乘之而得结果，不过要兜圈子绕弯路。四、伸缩法在比较两个同类量的长短（线段）、大小（角、面积）时，常将短的线段伸长，长的线段缩短。如果两条线段不在同一直线上，尽量的变直，求和则延伸，相反求差则截取。这种方法我们归结为伸缩法。例4.如图5，△ABC中，AB=AC，P、Q在圆ABC的上。求证：。解析：用对等法和平衡法证明，过程将冗繁。式子的主要症结在妥当处理PB+PC和QB。设想当PB、PC及QB、QC共线时，就形成四条比例的状态。伸直延长PB至D使BD=PC；弯直在BQ内截取BE=CQ（题中∠QCB>∠ACB=∠ABC>∠QBC有BQ>CQ）。原题断转换为。由∠ABD=∠ACP得△ABD≌△ACP，进而有等腰△ADP∽△ABC。同理，因△ABE≌△ACD有等腰△AEQ∽△ABC。于是，等腰△ADP∽△AEQ。命题得证。...
