1.230°，45°，60°角的三角函数值1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；(重点)3．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应锐角的大小．(难点)一、情境导入在直角三角形中(利用一副三角板进行演示)，如果有一个锐角是30°(如图①)，那么另一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45°呢(如图②)？由此你能发现这些特殊锐角的三角函数值吗？二、合作探究探究点一：30°，45°，60°角的三角函数值【类型一】利用特殊角的三角函数值进行计算计算：(1)2cos60°·sin30°－sin45°·sin60°；(2).解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2××－××＝－＝－1；(2)原式＝＝2－3.方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝，则锐角α的大致范围是()A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°解析： cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝，且＜＜，∴cos60°＜cosα＜cos45°，∴锐角α的范围是45°＜α＜60°.故选C.方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题【类型三】已知三角函数值，求角度根据下列条件，确定锐角α的值：(1)cos(α＋10°)－＝0；(2)tan2α－(＋1)tanα＋＝0.解析：(1)根据特殊角的三角函数值来求α的值；(2)用因式分解法解关于tanα的一元二次方程即可．解：(1)cos(α＋10°)＝，α＋10°＝30°，∴α＝20°；(2)tan2α－(＋1)tanα＋＝0，(tanα－1)(tanα－)＝0，tanα＝1或tanα＝，∴α＝45°或α＝30°.方法总结：熟记特殊角的三角函数值以及将“tanα”看作一个未知数解方程是解决问题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题探究点二：特殊角的三角函数值的应用【类型一】特殊角的三角函数值与其他知识的综合已知△ABC中的∠A与∠B满足(1－tanA)2＋|sinB－|＝0，试判断△ABC的形状．解析：根据非负性的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．解： (1－tanA)2＋|sinB－|＝0，∴tanA＝1，sinB＝，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC是锐角三角形．方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型二】利用特殊角的三角函数值求三角形的边长如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，若AC＝，求线段AD的长．解析：首先根据直角三角形的性质推出∠BAC的度数，再求出∠CAD＝30°，最后根据特殊角的三角函数值求出AD的长度．解： △ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°. AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，AD＝＝×＝2.方法总结：解决此题的关键是利用转化的思想，将已知和未知元素化归到一个直角三角形中，进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题【类型三】构造三角函数模型解决问题要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt△ABC，使∠C＝90°，斜边AB＝2，直角边AC＝1，那么BC＝，∠ABC＝30°，∴tan30°＝＝＝.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD的长，进而得出tan15°＝，tan75°＝.解：作∠B的平分线交AC于点D，作DE⊥AB，垂足为E. BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE.设CD＝x，则AD＝1－x，AE＝2－BE＝2－BC＝2－.在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，x2＋(2－)2＝(1－x)2，解得x＝2－3，∴tan15°＝＝2－，tan75°＝＝＝2＋.方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．变式训练...
