第1页初中数学备课组教师班级初二学生日期上课时间教学内容平面向量及其加减运算【知识结构】【要点点拨】一.平面向量1.有向线段规定了方向的线段叫做有向线段。2.向量既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也叫做向量的长度。（或向量的模）3.向量的表示（1）向量可以用有向线段直观表示①有向线段的长度表示向量的长度；②有向线段的方向表示向量的方向。（2）常见的表示方法①向量ABuuur，长度记为ABuuur；②向量ar、br、cr，长度记为ar、br、cr。4.相等的向量方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量。5.相反的向量方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量。6.平行向量方向相同或相反的两个向量叫做平行向量。例1:判断下列语句是否正确：（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量。（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的终点有可能相同。（3）向量ABuuur与向量BAuuur是同一个向量。（4）相等向量一定是平行向量。（5）互为相反的向量不一定是平行向量。（6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量。解：（1）√（2）×（3）×（4）√（5）×（6）×例2:在梯形ABCD中，//ADBC，ABCD，//DEAB，点E在BC上，如果把图中线段都画成有向平面向量的减法平面向量的加法平面向量的概念平面向量DA第2页线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）。（1）所有与ABuuur相等的向量。（2）所有与ABuuur互为相反的向量。（3）所有与ADuuur平行的向量。解：（1）DEABuuuruuur；（2）与ABuuur互为相反的向量：BAuuur、EDuuur；（3）所有与ADuuur平行的向量为：DAuuur，BEuuur，EBuuur，ECuuur，CEuuur，BCuuur，CBuuur。二.平面向量的加法1.向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法。2.零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0r。规定0r的方向可以是任意的（或者说不确定）；00r。因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0aarrr。对于任意向量，都有0aarrr，0aarrr。3.向量的加法满足交换律：abbarrrr。4.向量的加法满足结合律：()()abcabcrrrrruur。5.向量加法的三角形法则求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量。6.向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量。例1如图，已知向量ar与br，求作abrr。略例2计算：（1）ABBCuuuruuurACuuur；OEEFuuuruuurOFuuur.（2）AEFCEFuuuruuuruuurACuuur。（3）ABBCCDDEEFuuuruuuruuuruuuruuurAFuuur。三、平面向量的减法1.向量的减法第3页已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法。减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：()ababrrrr。2.向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。3.向量加法的平行四边形法则如果ar，br是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与ar，br相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是ar，br的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则。4.另外一个对角线向量，即是ar，br的差向量，这个差向量与被减向量共终点。例1如图，在图中画出向量ABACuuuruuur。略例2计算：ABCBCDEDuuuruuuruuuruuurAEuuur。例3如图，多边形ABCDEF是正六边形，设ABauuurr，BCbuuurr。试用向量ar和br表示向量OAuuur，OCuuur，OEuuur。解：OAbuuurr；OCauuurr；OEbauuurrr。巩固练习一、填空题1.已知下列各量:体积、人口数量、风速、重力、用水量、拉力，其中向量有风速、重力、拉力.2.已知向量ar与向量br是互为相反的向量，如果akbrr，那么k-1.3.如果ar与br互为相反的向量，则abrr0r.4.已知平行四边形ABCD中，向量ACuuur，DAuuur...
