训练目标(1)利用导数研究函数的常见题型；(2)解题步骤的规范训练.训练题型(1)利用导数求切线问题；(2)导数与单调性；(3)导数与极值、最值.解题策略(1)求曲线切线的关键是确定切点；(2)讨论函数的单调性、极值、最值可通过研究导数的符号用列表法解决；(3)证明不等式、不等式恒成立或有解、函数零点问题都可以转化为函数极值、最值问题.1．设f(x)＝x2－x－alnx.(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在[2，＋∞)上单调递增，求a的取值范围．2．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1)若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0
0时，f(x)0)，f′(x)＝2x－1－＝，令f′(x)≥0⇒⇒x≥1，令f′(x)<0⇒⇒00，得a>－.所以当a>－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间．即f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间时，a的取值范围为(－，＋∞)．(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝，所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．当00，令f′(x)＝0得x＝.在区间(0，)上，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；在区间(，＋∞)上，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，综上所述，①当a≤0时，f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；②当a>0时，f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．(2)因为函数f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，解得a＝1，经检验满足题意．由已知f(x)≥bx－2，则x－1－lnx≥bx－2,1＋－≥b，令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝－－＝，易得g(x)在(0，e2]上单调递减，在[e2，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－.4．(1)解由题意得所求切线的斜率k＝f′()＝cos＝.切点P(，)，则切线方程为y－＝(x－)，即x－y＋1－＝0.(2)解g′(x)＝m－x2.①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；②当m>0时，令g′(x)<0，解得x<－或x>，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞)．(3)证明当m＝1时，g(x)＝x－.令h(x)＝g(x)＋－f(x)＝x－sinx，x∈(0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，则h(x)是(0，＋∞)上的增函数，故当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即sinx
