训练目标(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破.训练题型(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围.解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.1．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋(f(x))2的最大值和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求的值．2．(2015·广东)设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤－1.3．已知函数f(x)＝ax＋lnx，a∈R，(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－2x＋1，若对任意x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)0，且函数f(x)和g(x)相切，求切点P的坐标；(3)设a>0，点P的坐标为(，－1)，问是否存在符合条件的函数f(x)和g(x)，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为(e2,2)呢？(结论不要求证明)答案解析1．解(1)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，则f′(x)＝cosx－sinx，代入F(x)＝f(x)f′(x)＋(f(x))2，可得F(x)＝cos2x＋sin2x＋1＝sin(2x＋)＋1，当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，F(x)max＝＋1，其最小正周期T＝＝π.(2)由f(x)＝2f′(x)，易得sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，解得tanx＝.∴＝＝＝.2．(1)解f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex＝(x＋1)2ex，∀x∈R，f′(x)≥0恒成立．∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．(2)证明 f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a， a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一零点，又 f(x)在(－∞，＋∞)上递增，∴f(x)在(0，a)上仅有一个零点，∴f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明f′(x)＝(x＋1)2ex，设P(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0(x0＋1)2＝0，∴x0＝－1，把x0＝－1，代入y＝f(x)得y0＝－a，∴kOP＝a－.f′(m)＝em(m＋1)2＝a－，令g(m)＝em－(m＋1)，g′(m)＝em－1.令g′(m)>0，则m>0，∴g(m)在(0，＋∞)上单调递增；令g′(m)<0，则m<0，∴g(m)在(－∞，0)上单调递减．∴g(m)min＝g(0)＝0.∴em－(m＋1)≥0，即em≥m＋1.∴em(m＋1)2≥(m＋1)3，即a－≥(m＋1)3.∴m＋1≤，即m≤－1.3．解(1)f′(x)＝a＋＝(x>0)．①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－，在区间(0，－)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．在区间(－，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(0，－)，f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．(2)由已知，转化为f(x)max－1－ln(－a)，解得a<－.故实数a的取值范围是(－∞，－)．4．(1)解方法一由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1，所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝1＋－n·2n＝(1－n)2n－1，所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1.方法二当x≠1时，fn(x)＝－1，则fn′(x)＝，可得fn′(2)＝＝(n－1)2n＋1.(2)证明因为fn(0)＝－1＜0，fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，所以fn(x)在内至少...
