训练目标(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破
训练题型(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围
解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法
1．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋(f(x))2的最大值和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求的值．2．(2015·广东)设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a
(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤－1
3．已知函数f(x)＝ax＋lnx，a∈R，(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－2x＋1，若对任意x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)0，且函数f(x)和g(x)相切，求切点P的坐标；(3)设a>0，点P的坐标为(，－1)，问是否存在符合条件的函数f(x)和g(x)，使得它们在点P处相切
若点P的坐标为(e2,2)呢
(结论不要求证明)答案解析1．解(1)已知函数f(x)＝sinx＋cosx，则f′(x)＝cosx－sinx，代入F(x)＝f(x)f′(x)＋(f(x))2，可得F(x)＝cos2x＋sin2x＋1＝sin(2x＋)＋1，当2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，F(x)max＝＋1，其最小正周期T＝＝π
(2)由f(x)＝2f′(x)，易得sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，解得tanx＝
2．(1)解f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex＝(x＋1)2e
