训练目标(1)利用导数研究函数的常见题型；(2)解题步骤的规范训练.训练题型(1)利用导数求切线问题；(2)导数与单调性；(3)导数与极值、最值.解题策略(1)求曲线切线的关键是确定切点；(2)讨论函数的单调性、极值、最值可通过研究导数的符号用列表法解决；(3)证明不等式、不等式恒成立或有解、函数零点问题都可以转化为函数极值、最值问题.1．设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．2．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．3．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为6x－2y－1＝0，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)＝aex(a，b，c∈R，e为自然对数的底数)．(1)求b，c的值；(2)若∃x0∈(0,2]，使g(x0)＝f′(x0)成立，求a的取值范围．4．(2015·南平质检)已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝mx－(m为实数)．(1)求曲线y＝f(x)在点P(，f())处的切线方程；(2)求函数g(x)的单调递减区间；(3)若m＝1，证明：当x>0时，f(x)0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．答案解析1．解(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．令f′(x)>0，即x(ex－2)>0，∴x>ln2或x<0.令f′(x)<0，即x(ex－2)<0，∴00，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.3．解(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(1)＝2b＋c＋3＝3.又f(1)＝b＋c＋1，点(1，f(1))在直线6x－2y－1＝0上，∴6－2(b＋c＋1)－1＝0，故b＝－，c＝3.(2)∵g(x0)＝f′(x0)，∴aex0＝3x－3x0＋3，∴a＝.令h(x)＝，则h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2.当x变化时，h(x)与h′(x)在x∈(0,2]上的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,2)2h′(x)－0＋0h(x)∴h(x)在x∈(0,2]上有极小值h(1)＝，又h(2)＝，h(0)＝3>，∴h(x)在x∈(0,2]上的取值范围为[，3)，∴a的取值范围为[，3)．4．(1)解由题意得所求切线的斜率k＝f′()＝cos＝.切点P(，)，则切线方程为y－＝(x－)，即x－y＋1－＝0.(2)解g′(x)＝m－x2.①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；②当m>0时，令g′(x)<0，解得x<－或x>，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞)．(3)证明当m＝1时，g(x)＝x－.令h(x)＝g(x)＋－f(x)＝x－sinx，x∈(0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，则h(x)是(0，＋∞)上的增函数，故当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即sinx0)得f′(x)＝x－＝.由f′(x)＝0解得x＝(负值舍去)．f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．(2)证明由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．当k>e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0，所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
