训练目标(1)导数的综合应用；(2)压轴大题突破.训练题型(1)导数与不等式的综合；(2)利用导数研究函数零点；(3)利用导数求参数范围.解题策略(1)不等式恒成立(或有解)可转化为函数的最值问题，函数零点可以和函数图象相结合；(2)求参数范围可用分离参数法.1．已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋(f(x))2的最大值和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求的值．2．已知函数f(x)＝ax－ex(a>0)．(1)若a＝，求函数f(x)的单调区间；(2)当1≤a≤1＋e时，求证：f(x)≤x.3．已知函数f(x)＝ax＋lnx，a∈R，(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x2－2x＋1，若对任意x1∈(0，＋∞)，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)
0；当x>－ln2时，f′(x)<0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－ln2)；单调递减区间为(－ln2，＋∞)．(2)证明令F(x)＝x－f(x)＝ex－(a－1)x，①当a＝1时，F(x)＝ex>0，∴f(x)≤x成立．②当1ln(a－1)时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(ln(a－1))＝eln(a－1)－(a－1)·ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，∵10,1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．综上，当1≤a≤1＋e时，f(x)≤x.3．解(1)f′(x)＝a＋＝(x>0)．①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－，在区间(0，－)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．在区间(－，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(0，－)，f(x)的单调递减区间为(－，＋∞)．(2)由已知，转化为f(x)max－1－ln(－a)，解得a<－.故实数a的取值范围是(－∞，－)．4．(1)解当x≠1时，fn(x)＝－1，则fn′(x)＝，可得fn′(2)＝＝(n－1)2n＋1.(2)证明因为fn(0)＝－1＜0，fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，所以fn(x)在内至少存在一个零点，又f′n(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0，所以fn(x)在内单调递增，因此fn(x)在内有且仅有一个零点an，由于fn(x)＝－1，所以0＝fn(an)＝－1，由此可得an＝＋a＞，故＜an＜，所以0＜an－＝a＜×n＋1＝n.5．解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－lnx(x>0)，f′(x)＝x－，x>0，∴k＝f′(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为0.(2)f′(x)＝ax－＝，x>0.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)在(0，)上单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(，＋∞)上单调递增．(3)存在a∈(0，e3)，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根．理由如下：由(2)可知当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，方程f(x)＝2不可能有两个不等的实数根；当a>0时，函数f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根，等价于函数f(x)的极小值f()<2，即f()＝＋lna<2，解得0
