训练目标会应用定理、性质证明直线与平面平行、平面与平面平行.训练题型证明空间几何体中直线与平面平行、平面与平面平行.解题策略(1)熟练掌握平行的有关定理、性质；(2)善于用分析法、逆推法寻找解题突破口，总结辅助线、辅助面的做法.1．(2015·成都第三次诊断)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，CE＝2EC1.(1)若F是AB的中点，求证：C1F∥平面BDE；(2)求三棱锥D－BEB1的体积．2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.3．(2015·辽宁五校协作体上学期期中)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝，AA1＝2.(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(3)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．4.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，点G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．求证：(1)E，B，F，D1四点共面；(2)平面A1GH∥平面BED1F.5.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．答案解析1．(1)证明连结CF交BD于点M，连结ME，如图所示．易知△BMF∽△DMC.∵F是AB的中点，∴＝＝.∵CE＝2EC1，∴＝.于是在△CFC1中，有＝.∴EM∥C1F.又EM⊂平面BDE，C1F⊄平面BDE.∴C1F∥平面BDE.(2)解∵V三棱锥D－BEB1＝·DC·S△BEB1＝×3××3×3＝，∴三棱锥D－BEB1的体积为.2．证明如图，作MP∥BB1交BC于点P，连结NP，∵MP∥BB1，∴＝.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴＝，∴＝，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.3．(1)证明∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A1O⊥BD.∵A1O∩AC＝O，A1O⊂平面A1AC，AC⊂平面A1AC，∴BD⊥平面A1AC.∵AA1⊂平面A1AC，∴AA1⊥BD.(2)证明∵A1B1∥AB，AB∥CD，∴A1B1∥CD.∵A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B1，且A1B∩A1D＝A1，CD1∩B1C＝C，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(3)解∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．在正方形ABCD中，AB＝，可得AC＝2.在Rt△A1OA中，AA1＝2，AO＝1，∴A1O＝，∴V三棱柱ABD－A1B1D1＝S△ABD·A1O＝×()2×＝.∴三棱柱ABD－A1B1D1的体积为.4．证明(1)如图所示，连结FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.又∵BG∥A1E，∴四边形A1GBE为平行四边形，∴A1G∥BE，A1G＝BE.又∵C1F∥B1G，C1F＝B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形，∴FG∥C1B1∥D1A1，FG＝C1B1＝A1D1，∴四边形A1GFD1是平行四边形，∴A1G∥D1F，A1G＝D1F，∴D1F∥EB，D1F＝EB.即四边形EBFD1是平行四边形，∴E，B，F，D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝.又B1G＝1，∴＝.∵＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF，∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，HG⊂平面A1GH，A1G⊂平面A1GH，FB⊂平面BED1F，BE⊂平面BED1F∴平面A1GH∥平面BED1F.5．解当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE.∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE⊂平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.
