（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何 59 垂直的判定与性质 文-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

训练目标会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系.训练题型(1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、面垂直的性质证明线线垂直.解题策略证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.1.如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.2．(2015·南京、盐城第一次联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．求证：(1)OE∥平面BCC1B1；(2)平面B1DC⊥平面B1DE.3．(2015·德阳四校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.4．(2015·张掖第二次诊断)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求证：直线AB1∥平面BC1D；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求三棱锥C－BC1D的体积．5.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.(1)证明：C1C⊥BD；(2)当的值为多少时，A1C⊥平面C1BD?答案解析1．证明(1)因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因为PA⊥圆O所在平面，即PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.又因为AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，所以PB⊥平面AEF.又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.2．证明(1)如图，连结BC1，设BC1∩B1C＝F，连结OF.因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且OF＝DC.又E为AB的中点，所以EB∥DC，且EB＝DC，从而OF∥EB，OF＝EB，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF.又OE⊄平面BCC1B1，BF⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥DC.又BC1⊥B1C，DC∩B1C＝C，DC⊂平面B1DC，BC1⊂平面B1DC，所以BC1⊥平面B1DC.而BC1∥OE，所以OE⊥平面B1DC，又OE⊂平面B1DE，所以平面B1DC⊥平面B1DE.3．(1)证明如图所示，连结BC1，AD1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB.又AB∩AD1＝A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)解如图所示，G点即为A1点．证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，连结A1F，取CD的中点H，连结AH，EH，因为DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，AH⊂平面AHE，EH⊂平面AHE，所以DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，DF⊂平面DFA1，A1D⊂平面DFA1，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.4．(1)证明连结B1C交BC1于点O，连结OD，如图，则点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴AB1∥OD.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D.(2)证明∵AA1⊥底面ABC，BD⊂底面ABC，∴AA1⊥BD.∵△ABC是正三角形，D是AC的中点，∴BD⊥AC.∵AA1∩AC＝A，AA1⊂平面ACC1A，AC⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵BD⊂平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)解由(2)知，在△ABC中，BD⊥AC，BD＝BCsin60°＝3，∴S△BCD＝×3×3＝，∴V三棱锥C－BC1D＝V三棱锥C1－BCD＝××6＝9.5．(1)证明如图，连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD.又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D.∵DO＝OB，∴C1O⊥BD，又AC⊥BD，AC∩C1O＝O，AC⊂平面ACC1，C1O⊂平面ACC1，∴BD⊥平面ACC1，又C1C⊂平面ACC1，∴C1C⊥BD.(2)解由(1)知BD⊥平面ACC1，∵A1C⊂平面ACC1，∴BD⊥A1C，当＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1＝B，BD⊂平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴A1C⊥平面C1BD.故当＝1时，A1C⊥平面C1BD.