训练目标对平行、垂直的证明及空间角的求解强化训练,提高综合分析论证能力,培养较强的空间想象能力.训练题型(1)线、面平行与垂直的证明;(2)平行、垂直关系的应用;(3)探索性问题.解题策略(1)证明平行问题都离不开“线线平行”,找准“线”是关键;(2)证明垂直问题关键是找“线线垂直”,利用已知条件及所给图形找到要证明的线是解题突破口.1.(2015·南京二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD=CD=AB,AB∥CD,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与PB交于点N,求PN:PB的值.2.(2015·潍坊模拟)如图,边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AB∥CD,AB⊥BC,DC=BC=AB=1.点M在线段EC上.(1)证明:平面BDM⊥平面ADEF;(2)判断点M的位置,使得三棱锥B-CDM的体积为.3.(2015·德阳高中二诊)在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2,四边形ABEF为正方形,平面ABEF⊥平面ABCD,P为DF的中点,AN⊥CF,垂足为N.(1)求证:BF∥平面PAC;(2)求证:AN⊥平面CDF;(3)求三棱锥B-CEF的体积.4.(2015·青岛一模)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,BC=1,AB=,AD=AA1=3,E1为A1B1中点.证明:(1)B1D∥平面AD1E1;(2)平面ACD1⊥平面BDD1B1.5.如图,已知四边形ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,FA⊥平面ABCD,FA=AB=2DE.(1)判断B,C,E,F四点是否共面,并证明你的结论;(2)若CG⊥平面ABCD,且CG=FA,请问在平面ADEF上是否存在一点H,使得直线GH⊥平面BEF?若存在,求出H点的位置;若不存在,请说明理由.答案解析1.(1)证明连结AC.不妨设AD=1,因为AD=CD=AB,所以CD=1,AB=2.因为∠ADC=90°,所以AC=,∠CAB=45°.在△ABC中,由余弦定理得BC=,所以AC2+BC2=AB2.所以BC⊥AC.因为PC⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥PC.又PC⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,PC∩AC=C,所以BC⊥平面PAC.(2)解如图,因为AB∥CD,CD⊂平面CDMN,AB⊄平面CDMN,所以AB∥平面CDMN.因为AB⊂平面PAB,平面PAB∩平面CDMN=MN,所以AB∥MN.在△PAB中,因为M为PA的中点,所以N为PB的中点,即PN∶PB的值为.2.(1)证明 DC=BC=1,DC⊥BC,∴BD=,又AD=,AB=2,∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD.又平面ADEF⊥平面ABCD,ED⊥AD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED⊂平面ADEF,∴ED⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD,∴BD⊥ED,又AD∩DE=D,∴BD⊥平面ADEF,又BD⊂平面BDM,∴平面BDM⊥平面ADEF.(2)解如图,点M在平面DMC内,过M作MN⊥DC,垂足为N,则MN∥ED,又ED⊥平面ABCD,∴MN⊥平面ABCD.又V三棱锥B-CDM=V三棱锥M-BCD=·MN·S△BDC=,∴××1×1×MN=,∴MN=,又===,∴CM=CE.∴点M在线段CE的三等分点且靠近C处.3.(1)证明如图,连结BD交AC于O,连结PO. PO是△BDF的中位线,∴PO∥BF. PO⊂平面ACP,BF⊄平面ACP,∴BF∥平面PAC.(2)证明 平面ABEF⊥平面ABCD,交线为AB,AF⊥AB,AF⊂平面ABEF,∴AF⊥平面ABCD. CD⊂平面ABCD,∴AF⊥CD.又 CD⊥AC,AC∩AF=A,AC⊂平面ACF,AF⊂平面ACF,∴CD⊥平面ACF, AN⊂平面ACF,∴CD⊥AN. AN⊥CF,CD∩CF=C,且CF⊂平面CDF,CD⊂平面CDF,∴AN⊥平面CDF.(3)解 平面ABEF⊥平面ABCD,交线为AB,CA⊥AB,CA⊂平面ABCD,∴CA⊥平面ABEF,CA==,∴V三棱锥B-CEF=V三棱锥C-BEF=S△BEF×CA=××1×1×=.4.证明(1)如图,连结A1D交AD1于点G,连结E1G,因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,所以四边形ADD1A1为平行四边形,所以G为A1D的中点.又E1为A1B1的中点,所以E1G是△A1B1D的中位线,所以B1D∥E1G.又B1D⊄平面AD1E1,E1G⊂平面AD1E1,所以B1D∥平面AD1E1.(2)设AC∩BD=H,如图.因为AD∥BC,所以△BHC∽△DHA.又BC=1,AD=3,所以===3.因为AD∥BC,∠BAD=90°,所以∠ABC=90°,所以AC==2,BD==2,从而CH=,BH=,所以CH2+BH2=BC2,CH⊥BH,即AC⊥BD.因为ABCD-A1B1C1D1为四棱柱,AA1⊥底面ABCD,所以侧棱BB1⊥底面ABCD.又AC⊂底面ABCD,所以BB1⊥AC.因为BB1∩BD=B,...