（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何与空间向量 55 表面积与体积 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

训练目标会利用几何体的表面积、体积公式求几何体的表面积、体积.训练题型(1)求简单几何体的表面积、体积；(2)求简单的组合体的表面积、体积.解题策略球的问题关键在于确定球半径，不规则几何体可通过分割、补形转化为规则几何体求面积、体积.1．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．2．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)为________．3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值为__________．4．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B，由这个扇形围成一个圆锥，若圆锥的表面积为A，则A∶B等于________．5．(2015·甘肃天水秦安第二中学第五次检测)已知球O的直径PQ＝4，A，B，C是球O球面上的三点，△ABC是正三角形，且∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，则三棱锥P－ABC的体积为________．6.已知高为3的三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为________．7．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为V1、V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．8．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r、R，则球的表面积为________．9．已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为，则该三棱锥的外接球的表面积为________．10．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________cm3.11．如图，AD与BC是四面体A－BCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a、c为常数，则四面体A－BCD的体积的最大值是______________．12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为________．13．(2015·武汉部分学校调研)已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为________．14．球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为________．答案解析1．6π解析先求出圆柱的底面半径，再应用圆柱的表面积计算公式求解．设圆柱的底面半径为r，高为h.由2πr＝2π得r＝1，∴S圆柱表＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π＝6π.2．60°解析设母线长为l，底面半径为r，则πl＝2πr.∴＝，∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶角为60°.3.解析设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，表面积为＝2πr2＋4π2r2，则表面积与侧面积的比值为：.4．11∶8解析设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2πr＝πl，则l＝r，所以B＝(r)2×＝πr2，A＝πr2＋πr2＝πr2，得A∶B＝11∶8.5.解析如图，设球心为M，截面△ABC所截小圆的圆心为O. △ABC是等边三角形，∠APQ＝∠BPQ＝∠CPQ＝30°，∴P在平面ABC上的投影是等边△ABC的重心O.设AB的中点为H， PQ是直径，∴∠PCQ＝90°，∴PC＝4cos30°＝2，∴PO＝2cos30°＝3，OC＝2sin30°＝. O是等边△ABC的重心，∴OC＝CH，∴等边△ABC的高CH＝，AC＝＝3，∴V三棱锥P－ABC＝PO·S△ABC＝×3×××3＝.6.解析V＝Sh＝××3＝.7.解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1、r2和h1、h2，由＝，得＝，则＝.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝.8．4πRr解析方法一如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.方法二如图，设球心为O，球的半径为r1，连结OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.9．3π解析如图，构造正方体ANDM—FBEC.因为三棱锥A—BCD的所有棱长都为，所以正方体ANDM—FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为.易知三棱锥A—BCD的外接球就是正方体ANDM—FBEC的外接球，所以三棱锥A—BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为S球＝4π2＝3π.10.解析作出该球轴截面如图...