训练目标能熟练应用线面平行、垂直的定理及性质证明平行、垂直问题.训练题型(1)证明线线、线面、面面平行与垂直；(2)探求平行、垂直关系成立时满足的条件.解题策略用分析法找思路，用综合法写过程，注意特殊元素的运用.1．(2015·苏州上学期期末)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点．求证：(1)EF∥平面C1BD；(2)A1C⊥平面C1BD.2.如图，四棱锥P－ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAC⊥平面PDE.3．(2015·北京朝阳区第一次综合练)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．(1)求证：BD⊥平面ACC1A1；(2)求证：直线AB1∥平面BC1D；(3)设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，E、F分别为PC、BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PDC.5．(2015·北京海淀下学期期中)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC＝2AD，四边形ABEF是矩形，将矩形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2.(1)求证：BE1⊥DC；(2)求证：DM∥平面BCE1；(3)判断直线CD与ME1的位置关系，并说明理由．答案解析1．证明(1)如图，连结AD1， E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面C1BD.(2)如图，连结AC，则AC⊥BD. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD.又AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C，AC⊂平面AA1C，∴BD⊥平面AA1C，A1C⊂平面AA1C，∴A1C⊥BD.同理可证A1C⊥BC1.又BD∩BC1＝B，BD⊂平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴A1C⊥平面C1BD.2．证明(1)如图，取PD中点G，连结AG，FG，因为F，G分别为PC，PD的中点，所以FG∥CD，且FG＝CD.又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE＝CD.所以AE∥FG，AE＝FG.所以四边形AEFG为平行四边形．所以EF∥AG，又EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点，得＝＝，又因为AB＝，BC＝1，所以AC＝，AH＝AC＝.所以＝＝，又∠BAC为公共角，所以△HAE∽△BAC.所以∠AHE＝∠ABC＝90°，即DE⊥AC.又DE⊥PA，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以DE⊥平面PAC.又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.3．(1)证明因为三棱柱的侧面是正方形，所以CC1⊥BC，CC1⊥AC，BC∩AC＝C，BC⊂底面ABC，AC⊂底面ABC，所以CC1⊥底面ABC.因为BD⊂底面ABC，所以CC1⊥BD.由已知可得，底面三角形ABC为正三角形．因为D是AC中点，所以BD⊥AC.因为AC∩CC1＝C，AC⊂平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.(2)证明如图，连结B1C交BC1于点O，连结OD.显然点O为B1C的中点．因为D是AC中点，所以AB1∥OD.因为OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，所以直线AB1∥平面BC1D.(3)解在△BC1D内的平面区域(包括边界)存在一点E，使CE⊥DM，此时点E在线段C1D上．证明如下：如图，过C作CE⊥C1D，交线段C1D于E，由(1)可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE.又CE⊥C1D，C1D∩BD＝D，C1D⊂平面BC1D，BD⊂平面BC1D，所以CE⊥平面BC1D.又DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM.4．证明(1)如图，连结AC，则AC∩BD＝F，因为四边形ABCD为正方形，所以F为AC的中点，又E为PC的中点，所以在△CPA中，EF∥PA.又PA⊂侧面PAD，EF⊄侧面PAD，所以EF∥侧面PAD.(2)因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，CD⊂底面ABCD，所以CD⊥侧面PAD.又PA⊂侧面PAD，所以CD⊥PA.又PA＝PD＝AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝，即PA⊥PD.因为CD∩PD＝D，且CD⊂侧面PDC，PD⊂侧面PDC，所以PA⊥侧面PDC.又PA⊂侧面PAB，所以侧面PAB⊥侧面PDC.即平面PAB⊥平面PDC.5．(1)证明因为四边形ABE1F1为矩形，所以BE1⊥AB.因为平面ABCD⊥平面ABE1F1，且平面ABCD∩平...
