（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何与空间向量 62 向量法求解立体几何问题 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题.训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离.解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，在侧棱CC1上求一点P，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.3．(2015·甘肃河西五地市第一次联考)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，N是CC1的中点．(1)求证：A1C⊥BN；(2)求二面角B－A1N－C的余弦值．4．(2015·上饶一模)如图，五面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，AB＝6，AD＝4.顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA＝ED＝FB＝FC＝6，EF＝2，二面角F－BC－A的余弦值为.(1)在线段BC上是否存在一点N，使BC⊥平面EFN?(2)求平面EFB和平面CFB所成锐二面角的余弦值．5．(2015·长春普通高中质量检测)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC＝4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且＝λ.(1)求证：平面ADM⊥平面PBC.(2)是否存在实数λ，使得二面角P－DE－B的余弦值为？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．答案解析1．证明(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE，则点N，E的坐标分别为(，，0)，(0,0,1)．所以NE＝(－，－，1)．又点A，M的坐标分别是(，，0)，(，，1)，所以AM＝(－，－，1)．所以NE＝AM，且NE与AM不共线．所以NE∥AM.又因为NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE.所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝(－，－，1)，因为D(，0,0)，F(，，1)，所以DF＝(0，，1)．所以AM·DF＝0，所以AM⊥DF，所以AM⊥DF，同理AM⊥BF，又DF∩BF＝F，所以AM⊥平面BDF.2．解建立如图所示的空间直角坐标系，设CP＝m，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，所以BD＝(－1，－1,0)，BB1＝(0,0,1)，AP＝(－1,1，m)，AC＝(－1,1,0)．因为AC·BD＝(－1,1,0)·(－1，－1,0)＝0，AC·BB1＝(－1,1,0)·(0,0,1)＝0.所以AC为平面BDD1B1的一个法向量．设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，则sinθ＝cos(－θ)＝＝.所以cosθ＝＝.又tanθ＝＝＝3，所以m＝.故当CP＝时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3.3．(1)证明取AC的中点O，连结BO，A1O.由题意知BO⊥AC，A1O⊥AC.又因为平面A1ACC1⊥平面ABC，且平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1O⊂平面A1ACC1，所以A1O⊥平面ABC.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则O(0,0,0)，B(，0,0)，A1(0,0，)，N(0，，)，C(0，1,0)，A1C＝(0,1，－)，BN＝(－，，)．因为A1C·BN＝0＋＋(－)×＝0，所以A1C⊥BN.(2)解由(1)得A1N＝(0，，－)，A1B＝(，0，－)．设平面A1BN的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则即令x＝1，得n1＝(1，，1)．又平面A1NC的一个法向量n2＝(1,0,0)．设二面角B－A1N－C的平面角为θ，且由图知，θ为锐角，则cosθ＝＝.4．解(1)存在点N为线段BC的中点，使BC⊥平面EFN.证明： EF∥平面ABCD，且EF⊂平面EFBA，平面ABCD∩平面EFBA＝AB，∴EF∥AB.设平面EFN∩平面ABCD＝MN，M∈AD. EF∥平面ABCD，∴EF∥MN，∴AB∥MN. FB＝FC，∴BC⊥FN.又 四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB.∴BC⊥MN. FN⊂平面EFNM，MN⊂平面EFNM，FN∩MN＝N，∴BC⊥平面EFNM，即BC⊥平面EFN.(2)在平面EFNM内，过F作MN的垂线，垂足为H.由(1)可知BC⊥平面EFNM，BC⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面EFNM＝MN，FH⊥MN，则平面ABCD⊥平面EFNM，所以FH⊥平面ABCD.又因为FN⊥BC，HN⊥BC，则二面角F－BC－A的平面角为∠FNH.在Rt△FNB和Rt△FNH中，FN＝＝，NH＝FNcos∠FNH＝×＝2，FH＝8.过H分别作边AB，CD的垂线，垂足分别为S，Q，连结FS，FQ，以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，...