训练目标对平行、垂直的证明及空间角的求解强化训练，提高综合分析论证能力，培养较强的空间想象能力.训练题型(1)线、面平行与垂直的证明；(2)平行、垂直关系的应用；(3)探索性问题；(4)求空间角.解题策略(1)证明平行问题都离不开“线线平行”，找准“线”是关键；(2)证明垂直问题关键是找“线线垂直”，利用已知条件及所给图形找到要证明的线是解题突破口；(3)空间角问题一般可考虑向量法.1．(2015·南京二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD＝CD＝AB，AB∥CD，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．2．(2015·潍坊模拟)如图，边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，DC＝BC＝AB＝1.点M在线段EC上．(1)证明：平面BDM⊥平面ADEF；(2)判断点M的位置，使得三棱锥B－CDM的体积为.3．(2015·青岛检测)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝AA1＝3，BC＝1，E1为A1B1的中点．(1)证明：B1D∥平面AD1E1；(2)若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角(锐角)的余弦值．4.在圆柱OO1中，ABCD是其轴截面，EF⊥CD于O1(如图所示)，AB＝2，BC＝.(1)设平面BEF与圆O所在平面的交线为l，平面ABE与圆O1所在平面的交线为m，证明：l⊥m；(2)求二面角A－BE－F的余弦值．5．已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D，E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使平面ADE⊥平面DEBC，H，F分别是边AD和BE的中点，平面BCH与AE，AF分别交于I，G两点．(1)求证：IH∥BC；(2)求二面角A－GI－C的余弦值；(3)求AG的长．答案解析1．(1)证明连结AC.不妨设AD＝1，因为AD＝CD＝AB，所以CD＝1，AB＝2.因为∠ADC＝90°，所以AC＝，∠CAB＝45°.在△ABC中，由余弦定理得BC＝，所以AC2＋BC2＝AB2.所以BC⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PC.又PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC.(2)解如图，因为AB∥CD，CD⊂平面CDMN，AB⊄平面CDMN，所以AB∥平面CDMN.因为AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面CDMN＝MN，所以AB∥MN.在△PAB中，因为M为PA的中点，所以N为PB的中点，即PN∶PB的值为.2．(1)证明 DC＝BC＝1，DC⊥BC，∴BD＝，又AD＝，AB＝2，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.又平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD， BD⊂平面ABCD，∴BD⊥ED，又AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADEF，又BD⊂平面BDM，∴平面BDM⊥平面ADEF.(2)解如图，点M在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，又ED⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD.又V三棱锥B－CDM＝V三棱锥M－BCD＝·MN·S△BDC＝，∴××1×1×MN＝，∴MN＝，又＝＝＝，∴CM＝CE.∴点M在线段CE的三等分点且靠近C处．3．(1)证明如图，连结A1D交AD1于点G，连结E1G，因为ABCD－A1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点．又E1为A1B1的中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，从而B1D∥E1G，又B1D⊄平面AD1E1，E1G⊂平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1.(2)解因为AA1⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，又∠BAD＝90°，所以AB，AD，AA1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝t，则A(0,0,0)，B(t，0,0)，C(t,1,0)，D(0,3,0)，C1(t,1,3)，D1(0,3,3)，从而AC＝(t,1,0)，BD＝(－t,3,0)．因为AC⊥BD，所以AC·BD＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝.设n1＝(x1，y1，z1)是平面ACD1的一个法向量，又AD1＝(0,3,3)，AC＝(，1,0)，则即令x1＝1，则y1＝－，z1＝，故n1＝(1，－，)是平面ACD1的一个法向量．设n2＝(x2，y2，z2)是平面CDD1C1的一个法向量，又CC1＝(0,0,3)，CD＝(－，2,0)，则即令x2＝1，则y2＝，故n2＝(1，，0)是平面CDD1C1的一个法向量．所以|cos〈n1，n2〉|＝＝＝.故平面ACD1和平面CDD1C1所成角(锐角)的余弦值为.4．(1)证明由于圆柱的两底面互相平行，所以AB∥圆O1所在平面，EF∥圆O所在平面．所以l∥EF，m∥AB.又EF⊥CD，即...
