第1讲三角函数的图象与性质1．函数y＝tan的定义域是________．[解析]因为x－≠kπ＋，所以x≠kπ＋，k∈Z．[答案]2．(2019·徐州模拟)函数y＝cos的单调减区间为________．[解析]由y＝cos＝cos得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数的单调减区间为(k∈Z)．[答案](k∈Z)3．(2019·镇江市高三调研考试)定义在的函数f(x)＝8sinx－tanx的最大值为________．[解析]f′(x)＝8cosx－＝，令f′(x)＝0，得cosx＝，又x∈，所以x＝，且当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f是f(x)的极大值，也是最大值，故f(x)max＝f＝3．[答案]34．(2019·苏北三市高三模拟)已知函数f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数g(x)＝tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________．[解析]由题意知，x≠，令sinx＝tanx，可得sinx＝，x∈∪，可得sinx＝0或cosx＝，则x＝0或π或，不妨设A(0，0)，B(π，0)，C，则△ABC的面积为π×＝π．[答案]π5．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知在矩形ABCD中，AB⊥x轴，且矩形ABCD恰好能完全覆盖函数y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的一个完整周期的图象，则当a变化时，矩形ABCD的面积为________．[解析]由题意得，矩形ABCD的边长分别为函数y＝acos(aπx)＋b(a，b∈R，a≠0)的最小正周期和|2a|，故此矩形的面积为×|2a|＝4．[答案]46．(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．[解析]根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，所以ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|＜，得φ＝－，所以f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．[答案]7．(2019·南京模拟)已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f＝________．[解析]因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cosφ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以f(x)＝－4sinωx，又A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sinπx，所以f＝－4sin＝－2．[答案]－28．(2019·苏北三市高三第一次质量检测)将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为______．[解析]函数f(x)＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝sin的图象，如图所示，点A的坐标为，B，C之间的距离为一个周期π，所以三角形ABC的面积为π×2×＝．[答案]9．(2019·开封模拟)如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1，0))，那么ω的值为________．[解析]由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其图象知，<×<1，即<ω<π，所以正整数ω＝2或3．由函数f(x)的图象经过点(1，0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由图象知f(0)>，即＝>，得cos2ω<0，所以ω＝2．[答案]210．(2019·无锡市普通高中高三调研考试)已知直线y＝a(x＋2)(a>0)与函数y＝|cosx|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，其中x10)与y＝|cosx|的图象在x＝x4处相切，且x4∈，则a(x4＋2)＝－cosx4，所以a＝，又在上，y＝－cosx，y′＝sinx，所以(－cosx4)′＝sinx4，所以a＝sinx4．因此a＝＝sinx4，即＝－x4－2，x4＋＝x4＋＝－2．[答案]－211．已知函数f(x)＝sin＋1．(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y＝f(x)在上的图象．[解](1)振幅为，最小正周期T＝π，初相为－．(2)图象如图所示．12．(2019·扬州市第一学期期末检测)已知函数f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x，x∈R．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求方程f(x)＝0在(0，π]内的所有解．[解]f(x)＝cos2x＋2sinxcosx－sin2x＝s...
