（江苏专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.7 立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

1.两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围(0，][0，π]求法cosθ＝cosβ＝2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝.3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).4.利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝|AB|＝.(2)点到平面的距离如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为|BO|＝.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(×)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(×)(4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π].(√)(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l和α所成角为30°.(√)(6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(×)1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.答案90°解析如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，M(，1,0)，D(0,1,0)，N(1,1，)，A1M＝(，1，－1)，DN＝(1,0，).cos〈A1M，DN〉＝＝0，∴A1M与DN所成的角的大小是90°.2.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________.答案30°解析设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝|cos〈m，n〉|＝， 0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.3.(教材改编)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________.答案解析以A为原点，以AB，AE(AE⊥AB)，AA1所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1中点，则A(0,0,0)，C1(1，，2)，D(1,0,2)，∴AC1＝(1，，2)，AD＝(1,0,2).∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角cos∠C1AD＝＝＝，又 ∠C1AD∈，∴∠C1AD＝.4.(教材改编)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为________.答案60°解析 CD＝CA＋AB＋BD，∴|CD|＝＝＝＝2.∴CA·BD＝|CA|·|BD|·cos〈CA，BD〉＝－24.∴cos〈CA，BD〉＝－.而二面角与〈CA，BD〉互补，∴所求二面角为60°.5.P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在平面α、β上引射线PM、PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为________.答案90°解析不妨设PM＝a，PN＝b，如图，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝a，PF＝b，∴EM·FN＝(PM－PE)·(PN－PF)＝PM·PN－PM·PF－PE·PN＋PE·PF＝abcos60°－a×bcos45°－a×bcos45°＋a×b＝－－＋＝0，∴EM⊥FN，∴二面角α－AB－β的大小为90°.题型一求异面直线所成的角例1(2015·四川)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________.答案解析建立空间直角坐标系如图所示，设AB＝1，则AF＝，E，设M(0，y,1)(0≤y≤1)，则EM＝，∴cosθ＝＝.则cosθ＝＝·，令t＝1－y，则y＝1－t， 0≤y≤1，∴0≤t≤1，那么cosθ＝·＝＝，令x＝， 0≤t≤1，∴x≥1，那么cosθ＝，又 z＝9x2－8x＋4在[1，＋∞)上单调递增，∴x＝1时，zmin＝5，此时cosθ的最大值为·＝·＝.思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤：(1)选...