1.两条异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围(0,][0,π]求法cosθ=cosβ=2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sinθ=|cosβ|=.3.求二面角的大小(1)如图①,AB,CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB,CD〉.(2)如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cosθ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).4.利用空间向量求距离(供选用)(1)两点间的距离设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则|AB|=|AB|=.(2)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为|BO|=.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(×)(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.(×)(4)两异面直线夹角的范围是(0,],直线与平面所成角的范围是[0,],二面角的范围是[0,π].(√)(5)直线l的方向向量与平面α的法向量夹角为120°,则l和α所成角为30°.(√)(6)若二面角α-a-β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为θ,则二面角α-a-β的大小是π-θ.(×)1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.答案90°解析如图,以A为原点,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,设棱长为1,则A1(0,0,1),M(,1,0),D(0,1,0),N(1,1,),A1M=(,1,-1),DN=(1,0,).cos〈A1M,DN〉==0,∴A1M与DN所成的角的大小是90°.2.已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,则l与α所成的角为________.答案30°解析设l与α所成角为θ, cos〈m,n〉=-,∴sinθ=|cos〈m,n〉|=, 0°≤θ≤90°,∴θ=30°.3.(教材改编)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________.答案解析以A为原点,以AB,AE(AE⊥AB),AA1所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐标系,设D为A1B1中点,则A(0,0,0),C1(1,,2),D(1,0,2),∴AC1=(1,,2),AD=(1,0,2).∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角cos∠C1AD===,又 ∠C1AD∈,∴∠C1AD=.4.(教材改编)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为________.答案60°解析 CD=CA+AB+BD,∴|CD|====2.∴CA·BD=|CA|·|BD|·cos〈CA,BD〉=-24.∴cos〈CA,BD〉=-.而二面角与〈CA,BD〉互补,∴所求二面角为60°.5.P是二面角α-AB-β棱上的一点,分别在平面α、β上引射线PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°,那么二面角α-AB-β的大小为________.答案90°解析不妨设PM=a,PN=b,如图,作ME⊥AB于E,NF⊥AB于F, ∠EPM=∠FPN=45°,∴PE=a,PF=b,∴EM·FN=(PM-PE)·(PN-PF)=PM·PN-PM·PF-PE·PN+PE·PF=abcos60°-a×bcos45°-a×bcos45°+a×b=--+=0,∴EM⊥FN,∴二面角α-AB-β的大小为90°.题型一求异面直线所成的角例1(2015·四川)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为________.答案解析建立空间直角坐标系如图所示,设AB=1,则AF=,E,设M(0,y,1)(0≤y≤1),则EM=,∴cosθ==.则cosθ==·,令t=1-y,则y=1-t, 0≤y≤1,∴0≤t≤1,那么cosθ=·==,令x=, 0≤t≤1,∴x≥1,那么cosθ=,又 z=9x2-8x+4在[1,+∞)上单调递增,∴x=1时,zmin=5,此时cosθ的最大值为·=·=.思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤:(1)选...