基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·秦皇岛模拟)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为________.解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D1(0，0，2).所以BE＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)，所以cos〈BE，CD1〉＝＝＝.答案2.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|为________.解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)， 点M在AC1上且AM＝MC1，(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)∴x＝a，y＝，z＝.得M，∴|MN|＝＝a.答案a3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________.解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，∴A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得∴n1＝(1，2，2). 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.答案4.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________.解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P.则CA＝(2a，0，0)，AP＝，CB＝(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n，设n＝(x，y，z)，则解得可取n＝(0，1，1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝，∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.答案30°5.设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________.解析如图建立坐标系.则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2，0)，D1A1＝(2，0，0)，DB＝(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则即令z＝1，得n＝(－1，1，1).∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.答案6.(2016·苏北四市调研)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为__________.解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)，设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量.则n·A1B＝0，n·A1C1＝0，即令z＝2，则y＝1，x＝2，于是n＝(2，1，2)，D1C1＝(0，2，0)设所求线面角为α，则sinα＝|cos〈n，D1C1〉|＝.答案7.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为________.解析取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，则A，B，D.∴OA＝，BA＝，BD＝.设平面ABD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则BA·n＝0，且BD·n＝0，∴＋z0＝0，且x0＋＝0，因此取x0＝1，得平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，由于OA＝为平面BCD的一个法向量，∴cos〈n，OA〉＝，∴sin〈n，OA〉＝.答案8.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________.解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系.设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则EF＝(0，－1，1)，BC1＝(2，0，2)，∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.答案60°二、解答题9.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝，求三棱锥E－ACD的体积.(1)证明连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)解因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系A－xyz，则D(0，，0)，E，AE＝.设B(m，0，0)(m＞0)，则C(m，，0)，AC＝(m，，0).设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝.又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设|co...
