第16讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值1.(2018江苏淮安淮海中学高三模拟)已知集合A={-2,0,1},B={x|x2>1},则A∩B=.2.(2018常州教育学会学业水平检测)命题“∃x∈[0,1],x2-1≥0”是命题(选填“真”或“假”).3.方程|log2x|+x-2=0的解的个数为.4.(2018盐城田家炳中学期末)若双曲线x2a2-y23=1(a>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为.5.在△ABC中,∠A=45°,∠C=105°,BC=√2,则AC=.6.(2018南京第一学期期中)已知a>b>0,a+b=1,则4a-b+12b的最小值等于.7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f(π3)=.8.在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过A作x轴的垂线,垂足为H,过H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程为.9.如图,在△ABC中,已知AB=4,AC=6,∠BAC=60°,点D,E分别在边AB,AC上,且⃗AB=2⃗AD,⃗AC=3⃗AE,点F为DE的中点,则⃗BF·⃗DE的值为.10.(2018南京、盐城高三年级第二次模拟)如图,矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直,AE=AB,M,N,H分别为DE,AB,BE的中点.(1)求证:MN∥平面BEC;(2)求证:AH⊥CE.11.(2018江苏南通高考冲刺)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点D(1,32),且右焦点为F(1,0),右顶点为A,过点F的弦为BC,直线BA,直线CA分别交直线l:x=m(m>2)于P、Q两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若FP⊥FQ,求m的值.答案精解精析1.答案{-2}解析集合B={x|x<-1或x>1},则A∩B={-2}.2.答案真解析当x=1时,x2-1=0≥0成立,故命题是真命题.3.答案2解析在同一坐标系中作出函数y=|log2x|,y=2-x的图象(图略),由两图象有两个交点,可知方程|log2x|+x-2=0有两个解.4.答案2解析双曲线的一条渐近线为√3x-ay=0,圆的圆心为(2,0),半径r=2,圆心到渐近线的距离d=2√3√3+a2,依题意有(2√3√3+a2)2+1=4,解得a=1,所以双曲线的实轴长为2a=2.5.答案1解析∵∠A=45°,∠C=105°,∴∠B=30°,∵BC=√2,∴由正弦定理得BCsinA=ACsinB,AC=BCsinBsinA=√2×12√22=1.6.答案9解析因为a>b>0,所以a-b>0,且(a-b)+2b=a+b=1,则4a-b+12b=(4a-b+12b)[(a-b)+2b]=5+8ba-b+a-b2b≥5+2√8ba-b·a-b2b=9,当且仅当8ba-b=a-b2b,即a-b=4b,即a=56,b=16时取等号,故4a-b+12b的最小值等于9.7.答案1解析由图象可得A=2,最小正周期T=(11π12-π6)×43=π=2πωω=2,⇒则f(π6)=2sin(2×π6+φ)=2,又0<φ<π,所以φ=π6,故f(x)=2sin(2x+π6),则f(π3)=2sin(2π3+π6)=1.8.答案√3x+y-√3-1=0解析由{y=x,x2+y2=2,x≥0可得A(1,1),所以H(1,0),过H的平行于OA的直线方程为y=x-1,与x2+y2=2,x≥0联立解得B(1+√32,√3-12),所以直线AB的斜率是√3-12-11+√32-1=-√3,所以直线AB的方程为y-1=-√3(x-1),即√3x+y-√3-1=0.9.答案4解析由题意可得⃗AB·⃗AC=4×6×cos60°=12.⃗DE=13⃗AC-12⃗AB,⃗BF=⃗DF-⃗DB=12⃗DE-12⃗AB=12(13⃗AC-12⃗AB)-12⃗AB=16⃗AC-34⃗AB,所以⃗BF·⃗DE=(16⃗AC-34⃗AB)·(13⃗AC-12⃗AB)=118×36-13×12+38×16=2-4+6=4.10.证明(1)取CE的中点F,连接FB,MF.因为M为DE的中点,F为EC的中点,所以MF∥CD且MF=12CD.又因为在矩形ABCD中,N为AB的中点,所以BN∥CD且BN=12CD,所以MF∥BN且MF=BN,所以四边形BNMF为平行四边形,所以MN∥BF.又MN⊄平面BEC,BF⊂平面BEC,所以MN∥平面BEC.(2)因为四边形ABCD为矩形,所以BC⊥AB,因为平面ABCD⊥平面ABE,平面ABCD∩平面ABE=AB,BC⊂平面ABCD,且BC⊥AB,所以BC⊥平面ABE.因为AH⊂平面ABE,所以BC⊥AH.因为AB=AE,H为BE的中点,所以BE⊥AH.因为BC∩BE=B,BC⊂平面BEC,BE⊂平面BEC,所以AH⊥平面BEC.又因为CE⊂平面BEC,所以AH⊥CE.11.解析(1)由题意得1a2+94b2=1,a2-b2=1,解之得a2=4,b2=3,所以椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)设B(x0,y0),则BC:y=y0x0-1(x-1),与椭圆E:x24+y23=1联立得方程组{y=y0x0-1(x-1),x24+y23=1.解得x=x0,y=y0或x=8-5x05-2x0,y=-3y05-2x0,所以C(8-5x05-2x0,-3y05-2x0).所以kABkAC=y0x0-2·-3y05-2x08-5x05-2x0-2=y0x0-2·3y0x0+2=3y02x02-4=9(1-x024)x02-4=-94.显然kAB=kAP,kAC=kAQ,所以kAPkAQ=-94,设Q(m,y1),则kFQ=y1m-1=y1m-2·m-2m-1=m-2m-1kAQ,同理,kFP=m-2m-1kAP.所以kFPkFQ=(m-2m-1)2kAPkAQ=-94(m-2m-1)2=-1,又m>2,所以m-2m-1=23,所以m=4.
