第53课立体几何综合(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修2P38练习5改编)如图，在△ABC中，M为边BC的中点，沿AM将△ABC折起，使点B在平面ACM外.则当时，直线AM⊥平面BCM.(第1题)【答案】AB=AC【解析】当AB=AC时，有AM⊥MB，AM⊥MC.2.(必修2P50练习5改编)若在三棱锥S-ABC中，M，N，P分别是棱SA，SB，SC的中点，则平面MNP与平面ABC的位置关系为.【答案】平行3.(必修2P70练习13改编)若三个球的半径之比为1∶2∶3，则最大的球的体积是另外两个球的体积之和的倍.【答案】3【解析】根据球的体积公式V=πr3进行求解.4.如图(1)，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为cm.(第4题(1))【答案】13【解析】如图(2)，将三棱柱沿侧棱AA1展开(两周)，AA1=5cm，AA″=12cm，易知所求最短路线长为A1A″=13cm.(第4题(2))1.高考中关于立体几何的常考考点有：性质的运用，证明位置关系(平行或垂直)，求量(体积、面积、长度).2.解决翻折问题时要注意量和关系的变与不变.3.立体几何会与函数等知识综合考查求最值，得出关系式是解决问题的前提.【要点导学】要点导学各个击破简单几何体的折叠问题例1(2014·广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2，如图(2)所示折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)求证：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M-CDE的体积.图(1)图(2)(例1)【思维引导】要证CF⊥平面MDF，可通过证明CF⊥DF与CF⊥MD得到.求三棱锥M-CDE的体积的前提是分别求得△CDE的面积与MD的值；借助图形中的垂直与平行关系可求得相应的值.【解答】(1)因为PD⊥平面ABCD，PD平面PCD，所以平面PCD⊥平面ABCD，而平面PCD∩平面ABCD=CD，MD平面ABCD，MD⊥CD，所以MD⊥平面PCD.因为CF平面PCD，所以CF⊥MD，又CF⊥MF，MD，MF平面MDF，且MD∩MF=M，所以CF⊥平面MDF.(2)由(1)知CF⊥平面MDF，DF平面MDF，所以CF⊥DF，易知∠PCD=60°，所以∠CDF=30°，从而CF=CD=，因为EF∥DC，所以=，即=，所以DE=，所以PE=，所以S△CDE=CD×DE=，MD====，所以=S△CDE×MD=××=.【精要点评】本题以折叠图形为考查形式，考查直线与平面垂直的判定以及利用等体积法计算三棱锥的体积，属于中档题.图形折叠问题主要先弄清量的变与不变的问题，以及两个图形之间的关系等.变式如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A-BCF，其中BC=.(1)求证：DE∥平面BCF；(2)求证：CF⊥平面ABF；(3)当AD=时，求三棱锥F-DEG的体积.图(1)图(2)(变式)【思维引导】要证DE∥平面BCF，即可证DE∥BC；要证CF⊥平面ABF，即可证AF⊥CF与BF⊥CF；求体积前先确定GE是高，△DFG是底.【解答】(1)在等边三角形ABC中，AD=AE，所以=，在折叠后的三棱锥A-BCF中也成立，所以DE∥BC.因为DE平面BCF，BC平面BCF，所以DE∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥CF①，且BF=CF=.因为在三棱锥A-BCF中，BC=，所以BC2=BF2+CF2，所以CF⊥BF②.因为BF∩AF=F，BF，AF平面ABF，所以CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG，所以==××DG×FG×GE=×××××=.立体几何模型实际应用问题例2请你设计一个包装盒，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去如图(1)所示的阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个如图(2)所示的正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位：cm2)最大，试问：x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(单位：cm3)最大，试问：x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.图(1)图(2)(例2)【思维引导】本题求解的前提是找到盒子的底面边长与高，继而求得底面面积，再求其体积.而解题的关键是正确地求得“盒子”体积的函数式.因为题中涉及了三次函数的最值，所以要考虑结合导数求最值.【解答】(1)根据题意...
