1．导数与导函数的概念(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)．(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[]′＝(g(x)≠0)．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(×)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．(×)1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．答案3解析 f(x)＝x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.∴f′(－1)＝3.2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________．答案④解析由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除①③.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，由图知②不符合，④符合，故④正确．3．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sinx＋cosx，则f′()＝________.答案－解析因为f(x)＝f′()sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′()cosx－sinx，所以f′()＝f′()cos－sin，即f′()＝－1，所以f(x)＝－sinx＋cosx.f′(x)＝－cosx－sinx.故f′()＝－cos－sin＝－.4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．答案解析 y＝，∴y′＝＝＝. ex>0，∴ex＋≥2，当且仅当ex＝＝1，即x＝0时，“＝”成立．∴y′∈[－1,0)，∴tanα∈[－1,0)．又α∈[0，π)，∴α∈.5．(2015·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．答案(1,1)解析y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．题型一导数的运算例1求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝.解(1) y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，∴y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)y′＝＝＝.思维升华求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(1)f(x)＝x(2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，则x0＝________.(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.答案(1)1(2)－2解析(1)f′(x)＝2016＋lnx＋x×＝2017＋lnx，故由f′(x0)＝2017得2017＋lnx0＝2017，则lnx0＝0，解得x0＝1.(2)f′(x)＝4ax3＋2bx， f′(x)为奇函数，且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.题型二导数的几何意义命题点1已知切点的切线方程问题例2(1)函数f(x)＝的图象在点(1，...
