（江苏专用）高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.2 导数的应用课时1 导数与函数的单调性文-人教版高三数学试题VIP免费

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2024-09-19 发布于山西
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（江苏专用）高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.2 导数的应用课时1 导数与函数的单调性文-人教版高三数学试题_第1页

（江苏专用）高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.2 导数的应用课时1 导数与函数的单调性文-人教版高三数学试题_第2页

（江苏专用）高考数学一轮复习第三章导数及其应用 3.2 导数的应用课时1 导数与函数的单调性文-人教版高三数学试题_第3页

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课时1导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性例1求函数f(x)＝的单调区间．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝，所以f′(x)＝.当f′(x)>0，即0e时，函数f(x)单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．思维升华确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是________________．答案和解析f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx．令f′(x)＝xcosx≥0，则其在区间(－π，π)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.题型二含参数的函数的单调性例2已知函数f(x)＝lnx＋ax＋－1.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当－≤a≤0时，讨论f(x)的单调性．解(1)当a＝1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，此时f′(x)＝＋1－，f′(2)＝＋1－＝1.又因为f(2)＝ln2＋2＋－1＝ln2＋2，所以切线方程为y－(ln2＋2)＝x－2，整理得x－y＋ln2＝0.(2)f′(x)＝＋a－＝＝.当a＝0时，f′(x)＝.此时，在(0,1)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(1，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增．当－≤a<0时，f′(x)＝.当－＝1，即a＝－时，f′(x)＝－≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当－1，此时在(0,1)或上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上，当a＝0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当－0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；③当00，故f(x)在(0,)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．题型三利用函数单调性求参数例3设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，即x∈(－2，－1)时，a<(x＋)max＝－2，当且仅当x＝即x＝－时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．引申探究在本例3(3)中，1．若g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何求解？解方法一 g′(x)＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)内为减函数，∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，∴即解之得a≤－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3]．方法二 g′(x)＝x2－ax＋2，由题意可得g′(x)≤0在(－2，－1)上恒成立，即a≤x＋在(－2，－1)上恒成立，又y＝x＋，x∈(－2，－1)的值域为(－3，－2]，∴a≤－3，∴实数a的取值范围是(－∞，－3]．2．若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，求a的值．解 g(x)的单调减区间为(－2，－1)，∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.3．若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a的取值范围．解由引申探究1知g(x)在(－2，－1)上为减函数，a的范围是(－...

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