第2讲利用导数研究函数的单调性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．函数f(x)＝x－lnx的单调递减区间为________．解析函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，解得0f(c)>f(d)；②f(b)>f(a)>f(e)；③f(c)>f(b)>f(a)；④f(c)>f(e)>f(d)．其中正确的是________(填序号)．解析依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由af(b)>f(a)．答案③3．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为________．解析 f′(x)＝6x2－6mx＋6，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴m≤2＋＝.答案4．已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．解析因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－0在上恒成立，即a>－2x在上恒成立． 函数y＝x－2与函数y＝－2x在上为减函数，∴a≥4－2×＝3.答案[3，＋∞)7．(2017·南京、盐城模拟)已知f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________．解析由f(x)＝2lnx＋x2－5x＋c，得f′(x)＝＋2x－5，又函数f(x)在区间(m，m＋1)上为递减函数，∴f′(x)≤0在(m，m＋1)上恒成立，∴解得≤m≤1.答案8．(2017·南通、扬州、泰州调研)设f(x)是R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x>0时，(x2＋1)·f′(x)－2x·f(x)<0，则不等式f(x)>0的解集为________．解析因为当x>0时，(x2＋1)·f′(x)－2x·f(x)<0恒成立，所以′<0恒成立，所以函数g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝0，所以f(1)＝0，g(1)＝0，所以在(0,1)上恒有f(x)>0，在(1，＋∞)上恒有f(x)<0.由图象易知在(－∞，－1)上恒有f(x)>0，在(－1,0)上恒有f(x)<0，即不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．答案(－∞，－1)∪(0,1)二、解答题9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解(1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝.设h(x)＝－lnx－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2017·泰州模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝x3＋f′x2－x＋c(其中f′为f(x)在点x＝处的导数，c为常数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)＝[f(x)－x3]ex，若函数g(x)在[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2＋2f′x－1，令x＝，得f′＝－1，∴f(x)＝x3－x2－x＋c，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，由f′(x)>0，得x<－或x>1；由f′(x)<0，得－
