第44课推理与证明(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修1-2P31例1改编)前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.则结论是.【答案】所有的爬行动物都是用肺呼吸的2.(选修1-2P32例3改编)由<<<，…，猜想：若m>0，则与之间的大小关系为.【答案】>3.(选修1-2P33练习3改编)观察下列等式：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，…从中归纳出一般结论是.【答案】1+3+5+…+(2n+1)=(n+1)2(n∈N*)4.(选修1-2P47定义改编)分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的条件.【答案】充分5.(选修1-2P49例1改编)要证明“正弦函数没有比2π小的正周期”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是.(填序号)①反证法；②分析法；③综合法.【答案】①1.推理一般包括合情推理和演绎推理.其中合情推理又包括归纳推理和类比推理.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提、小前提、结论.2.归纳推理是部分到整体，由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.3.证明分直接证明和间接证明.直接证明又有综合法、分析法等.常用的间接证明方法是反证法.4.综合法是从已知条件出发，经过逐步的推理，达到待证的结论.分析法是从待证的结论出发，寻求结论成立的充分条件，达到题设的已知条件或已被证明的事实.反证法是从假设结论不成立入手，推出与已知条件、公理、定理或显然成立的事实等矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立.一般步骤为反设、归谬、存真.【要点导学】要点导学各个击破合情推理例1一种十字绣作品由相同的小正方形构成，如图，图①②③④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n).?①②③④(例1)(1)求出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f(n+1)与f(n)的关系式；(3)猜想f(n)的表达式，并写出推导过程.【思维引导】(1)先观察图形，得出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，从中得出f(n+1)与f(n)的关系；(2)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，所得的推理不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也就越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法；(3)数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项.【解答】(1)图①中只有一个小正方形，得f(1)=1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f(2)=5；图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f(3)=13；图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f(4)=25；(2)因为f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，所以f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，…所以f(n)-f(n-1)=4×(n-1)=4n-4，所以f(n+1)与f(n)的关系式为f(n+1)-f(n)=4n.(3)猜想f(n)的表达式为2n2-2n+1.推导过程如下：由(2)可知：f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，…f(n)-f(n-1)=4×(n-1)=4n-4，将上述n-1个子相加，得f(n)-f(1)=4[1+2+3+4+…+(n-1)]，解得f(n)=2n2-2n+1，故f(n)的表达式为f(n)=2n2-2n+1.【精要点评】归纳推理的主要入手点是条件的形式特点或意义特点，根据发现的特点进行合理的猜想，再给出证明.例2在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式成立.【思维引导】等差数列→用加减法定义→性质用加法表述；类比地，可考虑：等比数列→用乘除法定义→性质用乘法表述.【答案】b1b2·…·bn=b1b2·…·b17-n(n<17，n∈N*)【解析】对于等差数列{an}，若ak=0，则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0，所以有a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+(an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n)(n<2k-1，n∈N*)，从而对等比数...
