3.1导数的概念及运算1.导数与导函数的概念(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0).(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0).3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[]′＝(g(x)≠0).【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.2.[]′＝－(f(x)≠0).3.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x).4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(×)(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.(×)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(√)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(×)(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx.(×)1.(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝.答案2e解析f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.2.(教材改编)①(cosx)′＝sinx；②若y＝，则y′＝－；③(－)′＝.其中正确的个数是.答案1解析因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误；()′＝(x－2)′＝－2x－3，所以②错误；(－)′＝(－x－)′＝＝，所以③正确.3.(教材改编)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为.答案5x＋y＋2＝0解析因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.4.(教材改编)若过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为.答案(，2)或(－，－2)解析 y′＝(x－1)′＝－＝－4，∴x2＝，x＝±.∴切点坐标为(，2)或(－，－2).5.(教材改编)函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有条.答案2解析 y′＝3x2，设切点为(x0，y0)，则3x＝1，得x0＝±，即在点(，)和点(－，－)处有斜率为1的切线.题型一导数的计算例1求下列函数的导数.(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝.解(1)y′＝(x2)′·sinx＋x2·(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝(lnx＋)′＝(lnx)′＋()′＝－.(3)y′＝()′＝＝－.思维升华求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量.(1)f(x)＝x(2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，则x0＝.(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝.答案(1)1(2)－2解析(1)f′(x)＝2016＋lnx＋x×＝2017＋lnx，故由f′(x0)＝2017，得2017＋lnx0＝2017，则lnx0＝0，解得x0＝1.(2)f′(x)＝4ax3＋2bx， f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2016·南通一调)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x>0)和y＝x3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值为.(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为.答案(1)(2)x－y－1＝0解析(1)方法一由题设可知曲线y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为y＝2x1x－x，曲线y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3xx－2x，所以解得x1＝，x2＝，所以＝.方法二由题设得解得x1＝，x2＝，所以＝.(2) 点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上...
