第19课利用导数研究函数的最(极)值(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P31例2改编)函数f(x)=x3-4x+的极大值是，极小值是.【答案】-5【解析】f'(x)=x2-4，令f'(x)=0，解得x1=-2，x2=2.当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表：x(-∞，-2)-2(-2，2)2(2，+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值f(-2)↘极小值f(2)↗因此，当x=-2时，f(x)有极大值f(-2)=；当x=2时，f(x)有极小值f(2)=-5.2.(选修1-1P76练习2改编)已知函数f(x)=x3-x2-x+a，且f(x)的极小值为1，则f(x)的极大值为.【答案】【解析】f'(x)=3x2-2x-1，令f'(x)=0，则x=-或x=1.当x<-或x>1时，f'(x)>0；当-0，得x>1或x<-1，所以当x=1时，y极小值=a-6；当x=-1时，y极大值=a+6，所以a-6=0或a+6=0，所以a=±6.1.函数的极值若在函数y=f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数y=f(x)在点x=x0处取得极小值，记作y极小值=f(x0).2.求函数极值的步骤(1)求导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的所有实数根；(3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f'(x)的符号如何变化，若f'(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，则f(xn)是极小值；若f'(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点.3.函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymax=f(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作ymin=f(x0).4.求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间[a，b]上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的极值例1判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；如果没有极值，请说明理由.(1)y=8x3-12x2+6x+1；(2)y=1-(x-2.【思维引导】本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值.解决本题的关键是先求出导数为零的点，再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反.【解答】(1)因为y'=24x2-24x+6，令y'=0，即24x2-24x+6=0，解得x=，当x>时，y'>0；当x<时，y'>0，所以此函数无极值.(2)当x≠2时，有y'=-(x-2.当x=2时，y'不存在，因此y'在x=2处不可导.但在x=2处的左右邻域y'均存在，且函数y=f(x)在x=2处连续，故可依据y'在x=2的左右邻域的符号来判断函数在x=2处是否有极值.当x<2时，y'>0；当x>2时，y'<0.故y=f(x)在点x=2处取极大值，且极大值为f(2)=1.无极小值.【精要点评】判断一个函数是否有极值，不能只求解y'=0，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则在该点的左右邻域应是单调的，并且单调性应相反.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导数f'(x)；(2)求方程f'(x)=0的根；(3)检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.变式已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R)，其中a∈R.(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.【思维引导】(1)求出x=1的导...
