第十一章计数原理、随机变量及其分布第4讲离散型随机变量及其概率分布练习理基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1.某射手射击所得环数X的概率分布为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________.解析P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.答案0.792.随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3,…,10,且P(ξ=k)=ak(k=1,2,…,10),则a值为________.解析 随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3,…,10,且P(ξ=k)=ak(k=1,2,…,10),∴a+2a+3a+…+10a=1,∴55a=1,∴a=.答案3.设随机变量X的概率分布如下表所示:X012PaF(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)等于________.解析由概率分布的性质,得a++=1,所以a=.而x∈[1,2),所以F(x)=P(X≤x)=+=.答案4.(2016·常州质检)从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是________.解析如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布问题,故所求概率为P==.答案5.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,那么n=______.解析由于随机变量X等可能取1,2,3,…,n.所以取到每个数的概率均为.∴P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3,∴n=10.答案106.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则“放回5个红球”可以表示为________.解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6.答案ξ=67.抛掷2颗骰子,所得点数之和X是一个随机变量,则P(X≤4)=________.解析相应的基本事件空间有36个基本事件,其中X=2对应(1,1);X=3对应(1,2),(2,1);X=4对应(1,3),(2,2),(3,1).所以P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=++=.答案8.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数η的概率分布为________.解析η的所有可能值为0,1,2.P(η=0)==,P(η=1)==,P(η=2)==.∴η的概率分布为η012P答案η012P二、解答题9.(2015·重庆卷节选)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的概率分布.解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.综上知,X的概率分布为X012P10.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的概率分布.解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)依据条件,随机变量X服从超几何分布,其中N=10,M=4,n=3,且随机变量X的可能值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以随机变量X的概率分布是X0123P能力提升题组(建议用时:25分钟)11.若随机变量η的概率分布如下:η-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η<x)=0.8时,实数x的取值范围是________.解析由概率分布知:P(η<-1)=0.1,P(η<0)=0.3,P(η<1)=0.5,P(η<2)=0.8,∴当P(η<x)=0.8时,实数x的取值范围为1<x≤2.答案(1,2]12.随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P的值为________.解析因为P(X=n)=(n=1,2,3,4),所以+++=a=1.∴a=,故P=P(X=1)+P(X=2)=×+×=.答案13.(2016·泰州一模)不透明盒中装有10个形状大小一样的小球,其中有2个小球上标有数字1,有3个小球上标有数字2,...