第十一章计数原理、随机变量及其分布第4讲离散型随机变量及其概率分布练习理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.某射手射击所得环数X的概率分布为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为________.解析P(X＞7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79.答案0.792.随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，则a值为________.解析 随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1，2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝.答案3.设随机变量X的概率分布如下表所示：X012PaF(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于________.解析由概率分布的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.答案4.(2016·常州质检)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是________.解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.答案5.设随机变量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝______.解析由于随机变量X等可能取1，2，3，…，n.所以取到每个数的概率均为.∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.答案106.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ，则“放回5个红球”可以表示为________.解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.答案ξ＝67.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________.解析相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1).所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.答案8.在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的概率分布为________.解析η的所有可能值为0，1，2.P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝.∴η的概率分布为η012P答案η012P二、解答题9.(2015·重庆卷节选)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的概率分布.解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.综上知，X的概率分布为X012P10.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的概率分布.解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3).所以随机变量X的概率分布是X0123P能力提升题组(建议用时：25分钟)11.若随机变量η的概率分布如下：η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η＜x)＝0.8时，实数x的取值范围是________.解析由概率分布知：P(η＜－1)＝0.1，P(η＜0)＝0.3，P(η＜1)＝0.5，P(η＜2)＝0.8，∴当P(η＜x)＝0.8时，实数x的取值范围为1＜x≤2.答案(1，2]12.随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P的值为________.解析因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，所以＋＋＋＝a＝1.∴a＝，故P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝.答案13.(2016·泰州一模)不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，...
