第四章导数及其应用第16课导数的概念及运算课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为________．3(x2－a2)[ f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)等于________．－1[由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]3．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是________．2x－y＋1＝0[y′＝cosx＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]4．(2017·苏州模拟)已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．2[因为y＝－3lnx，所以y′＝－.再由导数的几何意义，有－＝－，解得x＝2或x＝－3(舍去)．]5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．[ f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，∴所求面积S＝××10＝.]6．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________．2x－y＋1＝0[由题意得f′(x)＝3x2－1，则f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.]7．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.【导学号：62172091】[因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝.]8．如图161，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，则S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________．图1612[当x＝t时，y＝t，∴S(t)＝t×t＝t2.∴S′(t)＝t，∴S′(2)＝2.]9．如图162，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.图1620[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.]10．(2017·扬州期中)若x轴是曲线f(x)＝lnx－kx＋3的一条切线，则k＝________.【导学号：62172092】e2[由题意可知f′(x)＝－k＝0有解，即x＝.∴f＝ln－1＋3＝0，即k＝e2.]11．(2017·苏州模拟)已知函数f(x)＝x－1＋，若直线：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，则k＝________.1－e[设切点坐标为(x0，y0)，则由题意可知f′(x0)＝k.又f′(x)＝1－，故1－＝k.又y0＝x0－1＋＝kx0－1，∴x0－1＋1－k＝kx0－1，∴(k－1)(x0＋1)＝0，∴k＝1或x0＝－1，当k＝1时，由k＝1－，可得＝0(舍去)，当x0＝－1时，由k＝1－，可得k＝1－e.]12．(2017·南通三模)已知两曲线f(x)＝cosx，g(x)＝sinx，x∈相交于点A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为________.【导学号：62172093】[由f(x)＝g(x)可知tanx＝，又x∈，所以A.又f′(x)＝－sinx，∴f′＝－，∴在点A处的切线l1：y－＝－.令y＝0，得x＝＋，即B.又g′(x)＝cosx，∴g′＝.∴在点A处的切线l2：y－＝.令y＝0，得x＝－，即C，∴BC＝－＝.]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·无锡期末)过曲线y＝x－(x>0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴、y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0＝________.[ y′＝1＋，∴y′|x＝x0＝1＋，∴AB：y－y0＝(x－x0)．又y0＝x0－，∴y－x0＋＝(x－x0)令x＝0得y＝－；令y＝0得x＝，∴S△OAB＝··＝，解得x＝(负值舍去)．]2．(2017·南通调研一)在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x>0)和y＝x3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是________．[由y＝x2得y′＝2x，切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.由y＝x3得y′＝3x2，切线方程为y－x＝3x(x－x2)，即y＝3xx－2x，由得＝.]3．(2016·山东高考改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下...
