第17课利用导数研究函数的单调性[最新考纲]内容要求ABC利用导数研究函数的单调性√函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．()(3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．()[答案](1)×(2)√(3)×2．(教材改编)如图171所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是________．(填序号)图171①函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数；②函数f(x)在区间(1,3)上是减函数；③函数f(x)在区间(0,2)上是减函数；④函数f(x)在区间(3,4)上是增函数．①[当x∈(－3,0)时，f′(x)＜0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．]3．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为________．(0,1][函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0＜x≤1.]4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图172所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)．则下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()图172①②③④③[由y＝f′(x)的图象可知，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,0)时，f′(x)<0.从而f(x)在(0,1)及(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)及(1，＋∞)上单调递增．]5．(2017·泰州模拟)若函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是________．[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝2mx＋－2，由题意可知f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2mx＋－2≥0在(0，＋∞)上恒成立．∴m≥－在(0，＋∞)上恒成立．又g(x)＝－＝－2＋≤.∴m≥.]判断或证明函数的单调性已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性.【导学号：62172094】[解]f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减．[规律方法]用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[变式训练1](2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．讨论f(x)的单调性．[解]由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)．当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增.求函数的单调区间(2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．[解]由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－a.下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.[规律方法]求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．[变式训练2]已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为________．(－，)[因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(...
