训练目标(1)平面向量数量积的概念；(2)数量积的应用．训练题型(1)向量数量积的运算；(2)求向量的夹角；(3)求向量的模．解题策略(1)数量积计算的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义；(2)求两向量的夹角时，要注意夹角θ为锐角和cosθ＞0的区别，不能漏解或增解；(3)求向量的模的基本思想是利用|a|2＝a·a，灵活运用数量积的运算律.1．(2016·延边期中)已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a－b且c⊥a，则a与b的夹角为________．2．(2016·淄博期中)已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则AC·DB＝________.3．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则实数t的值为________．4．(2017·吉林东北师大附中三校联考)如图，已知△ABC外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝2，A为钝角，M是BC边的中点，则AM·AO＝________.5．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．6．(2016·长沙一调)已知Rt△ABC中，|AC|＝3，|CB|＝4，|BA|＝5，则AB·AC＋AC·BC＋BC·AB的值是________．7．(2015·福建改编)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于________．8．(2016·长春质检)已知向量a＝(1，)，b＝(0，t2＋1)，则当t∈[－，2]时，|a－t|的取值范围是________．9．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ＝________.10．(2016·浙江余姚中学期中)已知OA与OB的夹角为60°，|OA|＝2，|OB|＝2，OP＝λOA＋μOB，若λ＋μ＝2，则|OP|的最小值为________．11．(2016·衡水期中)已知点P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，则AP·(AB＋AC)＝________.12．(2016·盐城模拟)设O是△ABC的三边中垂线的交点，且AC2－2AC＋AB2＝0，则BC·AO的取值范围是____________．13．(2016·徐州质检)如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为弧PQ上任意一点，则AM·AN的取值范围是________．14．已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，当2x＋y＝t(t＞0)时，|xAB＋yAC|≥t恒成立，则△ABC的面积为____，在上述条件下，对于△ABC内一点P，PA·(PB＋PC)的最小值是________．答案精析1．60°2.13.24.55．4解析由题意可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.6．－7解析由已知，得AB·AC＋AC·BC＋BC·AB＝3×5cosA＋0＋4×5cos(π－B)＝15×－20×＝－7.7．13解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，AB＝，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，PB·PC＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当＝4t，即t＝时取等号．8．[1，]解析由题意，＝(0,1)，∴|a－t|＝|(1，)－t(0,1)|＝|(1，－t)|＝＝. t∈[－，2]，∴∈[1，]，即|a－t|的取值范围是[1，]．9.解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(0，－)，C(1,0)，D(0，)．设E(x1，y1)，F(x2，y2)．由BE＝λBC，得(x1，y1＋)＝λ(1，)，解得即点E(λ，(λ－1))．由DF＝μDC，得(x2，y2－)＝μ(1，－)，解得即点F(μ，(1－μ))．又AE·AF＝(λ＋1，(λ－1))·(μ＋1，(1－μ))＝1，①CE·CF＝(λ－1，(λ－1))·(μ－1，(1－μ))＝－，②由①－②，得λ＋μ＝.10．2解析由题意得OA·OB＝2.因为OP＝λOA＋μOB，所以OP2＝(λOA＋μOB)2＝λ2OA2＋μ2OB2＋2λμOA·OB＝4λ2＋12μ2＋4λμ.又因为λ＋μ＝2，所以λ＝2－μ，所以OP2＝4(2－μ)2＋12μ2＋4(2－μ)μ＝4(μ－1)2＋12，所以当μ－1＝0，即μ＝时，|OP|min＝2.11．24解析由P是边长为4的正三角形ABC的边BC上的中点，可得AP＝(AB＋AC)，AB·AC＝|AB|·|AC|·cosA＝4×4×＝8，则AP·(AB＋AC)＝(AB＋AC)2＝(AB2＋AC2＋2AB·AC)＝×(16＋16＋16)＝24.12．[－，2)解析如图．设BC的中点为D，则BC·AO＝(AD＋DO)·BC＝AD·BC＝(AB＋AC)·(－AB＋AC)＝(|AC|2－|AB|2)．设|AC|＝b，|AB|＝c，则b2－2b＋c2＝0，所以BC·AO＝(b2＋b2－2b)＝b2－b.又b2－2b＝－c2＜0，所以0＜b＜2.所以BC·AO∈[－，2)．13．[，]解析建立如图所...
