训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题．训练题型(1)用空间向量证明平行与垂直；(2)用空间向量求空间角；(3)求长度与距离．解题策略(1)选择适当的空间坐标系；(2)求出相关点的坐标，用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量；(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式；(4)探索性问题，可利用共线关系设变量，引入参数，列方程求解.1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)设AD＝λAB，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求实数λ的值；(2)若点D是AB的中点，求二面角D－CB1－B的余弦值．2．(2016·甘肃天水一模)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，SD＝2，∠SDC＝120°.(1)求SC与平面SAB所成角的正弦值；(2)求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．3．(2017·南昌月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC；(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E，使得二面角E－B1D－B的余弦值为－？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．4．(2017·太原质检)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得二面角C－AF－P的余弦值是.答案精析立体几何问题1．解(1)由AC＝3，BC＝4，AB＝5得∠ACB＝90°，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.则A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x，y，z)，则由AD＝λAB，得CD＝(3－3λ，4λ，0)，又AC1＝(－3,0,4)，由题意知|cos〈AC1，CD〉|＝＝，解得λ＝或λ＝－.(2)由题意得D(，2,0)，CD＝(，2,0)，CB1＝(0,4,4)，设平面CDB1的法向量为n1，因为CD·n1＝0，CB1·n1＝0，所以可取n1＝(4，－3,3)；同理，平面CBB1的一个法向量为n2＝(1,0,0)，并且〈n1，n2〉与二面角D－CB1－B相等或互补，所以二面角D－CB1－B的余弦值为|cos〈n1，n2〉|＝.2．解如图，在平面SCD中，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.则有D(0,0,0)，S(0，－1，)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(1,2,0)．(1)设平面SAB的法向量为n＝(x，y，z)， AB＝(－1,2,0)，AS＝(－2，－1，)，AB·n＝0，AS·n＝0，∴取y＝，得n＝(2，，5)．又SC＝(0,3，－)，设SC与平面SAB所成角为θ，则sinθ＝|cos〈SC，n〉|＝＝，故SC与平面SAB所成角的正弦值为.(2)设平面SAD的法向量为m＝(a，b，c)， DA＝(2,0,0)，DS＝(0，－1，)，则有即取b＝，得m＝(0，，1)．∴cos〈n，m〉＝＝＝，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是.3．(1)证明取AB的中点O，连结OD，OB1.因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB.又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1，OB1⊂平面B1OD，B1D⊂平面B1OD，所以AB⊥平面B1OD，因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD.由已知条件知，BC⊥BB1，又OD∥BC，所以OD⊥BB1.因为AB∩BB1＝B，AB⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，所以OD⊥平面ABB1A1.因为OD⊂平面ABC，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.(2)解由(1)知OB，OD，OB1两两垂直，所以以O为坐标原点，OB，OD，OB1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|OB|为单位长度1，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，连结B1C.由题设知，B1(0,0，)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，)，∴B1D＝(0,1，－)，B1B＝(1,0，－)，CC1＝(－1,0，)，B1C(1,2，－)，设CE＝λCC1(0＜λ＜1)，由B1E＝B1C＋CE＝(1－λ，2，(λ－1))，设平面BB1D的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则得令z1＝1，则x1＝y1＝，所以平面BB1D的法向量为m＝(，，1)．设平面B1DE的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则得令z2＝1，则x2＝，y2＝，所以平面B1DE的一个法向量n＝(，，1)．设二面角E－B1D－B的大小为θ，则cosθ＝＝＝－，解得λ＝.所以在线段CC1上存在点E，使得二面角E－B1D－B的余弦值为－，此时＝(负值舍去)．4．(1)证明在直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，AD⊂平面ADE，所以AB⊥AD.又AD⊥AF...
