第28课函数建模问题(二)——三角函数、解三角形[最新考纲]内容要求ABC正(余)弦定理及其应用√1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．①②图2812．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)如图282，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．()图282[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)如图283，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.图28350[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知＝，即＝，解得AB＝50m．]3．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为________米．[如图所示，山的高度MN＝200米，塔高为AB，CN＝MB＝，AC＝＝＝.所以塔高AB＝200－＝(米)．]4．如图284，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为________．图284y＝sin[设点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为y＝sin(ωt＋φ)．由题意可得，函数的初相位是.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以|ω|＝，即ω＝－，所以y＝sin.]5．(教材改编)点P在直径AB＝1的半圆上移动(如图285所示)，过P作圆的切线PT且PT＝1，∠PAB＝α，则α＝________时，四边形ABTP面积最大．图285[ AB是圆的直径，∴∠APB＝90°，又AB＝1，故PA＝cosα，PB＝sinα.∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝sinαcosα＋sin2α＝sin2α＋＝sin＋. α∈，－<2α－<，∴当2α－＝，即α＝时S四边形ABTP最大．]测量问题角度1测量距离如图286，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．图286[解]在△ADC中，CD＝，∠ACD＝60°，∠ADC＝30°＋30°＝60°，∴△ADC为正三角形，即AC＝CD＝.在△BDC中，∠DBC＝180°－30°－45°－60°＝45°.由正弦定理得，＝，∴BC＝＝.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝＋－2×××＝，∴AB＝(km)．所以A，B的距离为km.角度2测量高度如图287，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.图287100[由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m)．]角度3测量角度在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？【导学号：62172152】[解]设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°.根据余弦定理，可得BC＝＝，由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直．于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30°，又＝，即＝，得t＝.∴当缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时．[规律方法]1.研究测量距离(高度)问题，解决此问题的...
