第23练高考大题突破练—导数与不等式[基础保分练]1
(2018·镇江模拟)已知函数f(x)＝ax2－ex(a∈R)
(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与y轴垂直，求y＝f′(x)的最大值；(2)若对任意0≤x1x2＋x＋2
已知函数f(x)＝a(x＋1)lnx－x＋1(a∈R)
(1)当图象过点(e，e＋3)时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(其中e为自然对数的底数，e＝2
71828…)(2)当a≥时，求证：对任意x≥1，f(x)≥0恒成立
[能力提升练]4
已知函数f(x)＝＋lnx
(1)若f(x)≥0对∀x>0恒成立，求a的值；(2)求证：ln(n＋1)>＋＋…＋(n∈N*)
答案精析基础保分练1
解(1)由f′(x)＝2ax－ex，得f′(1)＝2a－e＝0⇒a＝
令g(x)＝f′(x)＝ex－ex，则g′(x)＝e－ex，可知函数g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f′(x)max＝f′(1)＝0
(2)由题意可知函数h(x)＝f(x)＋x(2－2ln2)＝ax2＋x(2－2ln2)－ex在[0，＋∞)上单调递减，从而h′(x)＝2ax＋2－2ln2－ex≤0在[0，＋∞)上恒成立，令F(x)＝2ax＋2－2ln2－ex，则F′(x)＝2a－ex，当a≤时，F′(x)≤0，所以函数F(x)在[0，＋∞)上单调递减，则F(x)max＝F(0)＝1－2ln2时，令F′(x)＝2a－ex＝0，得x＝ln(2a)，所以函数F(x)在[0，ln(2a))上单调递增，在(ln(2a)，＋∞)上单调递减，则F(x)max＝F(ln(2a))＝2aln(2a)＋2－2ln2－2a≤0，即2aln(2a)－2a≤2ln2－2
通过求函数y＝xlnx－x的导数，可知它在[1，＋∞)上单调递增，故0)
当a≤0时，f′(x)>
