第22课同角三角函数间基本关系式(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P16例1改编)已知cosα=，且α∈，那么tanα=.【答案】-【解析】由cosα=，α∈，得sinα=-，所以tanα=-.2.(必修4P18练习4改编)已知tanα=3，且α为第三象限角，那么sinα=.【答案】-【解析】由题意，构造方程组解得sinα=±.因为α是第三象限角，所以sinα=-.3.(必修4P23习题11改编)若tanα=3，则=.【答案】【解析】===.4.(必修4P23习题20改编)若sinα+cosα=，则sin3α+cos3α=.【答案】【解析】sinαcosα=[(sinα+cosα)2-(sin2α+cos2α)]=，则sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=×=.5.(必修4P17例3改编)已知α是第一象限角，那么tanα·=.【答案】1【解析】tanα·=tanα·=·=1.同角三角函数间的基本关系式1.平方关系：sin2α+cos2α=1.2.商数关系：tanα=.【要点导学】要点导学各个击破利用同角三角函数关系求值例1(1)已知sinx=，求cosx与tanx的值.(2)已知3sinα=-cosα，求的值.【思维引导】(1)结合同角三角函数关系式直接求解，但是要注意分类讨论.(2)所求式是关于sinα与cosα的齐次式，若将分式的分子、分母同除以cos2α，则所求式用tanα表示，从而求值；也可以用tanα表示sinα，cosα，一般地，关于sinα，cosα的齐次式都可化为关于tanα的函数式.【解答】(1)因为sinx=，所以cosx=±=±=±，当cosx=时，tanx=；当cosx=-时，tanx=-.(2)因为3sinα=-cosα，所以tanα=-，原式===-.【精要点评】(1)已知sinα的值，利用平方关系求cosα的值时，如果α的范围没有确定，cosα的值有两种可能；(2)在求tanα的值时，要分类讨论；(3)在利用齐次式求值时，一定要凑齐次式.【高频考点·题组强化】1.若tanα=2，则=.【答案】【解析】原式==.2.若sinx=2cosx，则sin2x+1=.【答案】【解析】由已知得tanx=2，所以sin2x+1=2sin2x+cos2x===.3.若cosα+2sinα=-，则tanα=.【答案】2【解析】由将①变形代入②得(sinα+2)2=0，所以sinα=-，cosα=-，所以tanα=2.4.已知tanx=2.(1)求的值；(2)求2sin2x-sinxcosx+cos2x的值.【解答】(1)===.(2)2sin2x-sinxcosx+cos2x===.利用同角三角函数关系化简、证明例2求证：=.【解答】方法一：由cosx≠0，知sinx≠-1，所以1+sinx≠0.于是，左边=====右边，所以原式成立.方法二：因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin2x=cos2x=cosx·cosx，且1-sinx≠0，cosx≠0，所以=.方法三：因为-===0，所以原式成立.方法四：因为cosx≠0，左边=====右边.所以原式成立.变式化简：.【解答】原式====sinα+cosα.sinθ±cosθ及sinθcosθ的关系问题例3已知0<θ<π，且sinθ+cosθ=-，求tanθ的值.【思维引导】利用sinθ+cosθ的值可以求得sinθcosθ的值，进而可以知道tanθ的值，注意到0<θ<π，因此解题时应特别留意角θ的范围.【解答】因为sinθ+cosθ=-，两边平方得1+2sinθcosθ=，所以sinθcosθ=-<0.则sinθcosθ===-，解得tanθ=-或tanθ=-.因为θ∈，所以sinθ>0，cosθ<0.又sinθ+cosθ=-<0，所以|sinθ|<|cosθ|，所以|tanθ|<1，故tanθ=-.【精要点评】本题容易出错，原因在于注意到sinθcosθ=-<0，故tanθ<0.但两解是否都满足条件，还应考虑sinθ+cosθ=-<0，所以得到|sinθ|<|cosθ|，从而得解.本题还可以根据已知条件求sinθ-cosθ的值，然后再求sinθ与cosθ的值，进而求得tanθ的值.变式已知sinαcosα=，且<α<，那么cosα-sinα的值为.【答案】-【解析】因为<α<，所以cosαsinθ，即sinθ-cosθ<0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=，所以2sinθcosθ=，所以(sinθ-cosθ)2=1-2sin...
