第23课三角函数的诱导公式(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P20练习2改编)计算：tan2010°=.【答案】【解析】tan2010°=tan30°=.2.(必修4P19例1改编)计算：cos=.【答案】-【解析】cos=cos=cos=-cos=-.3.(必修4P20练习3改编)化简：sin2(π+α)-cos(π+α)·cos(-α)+1=.【答案】2【解析】原式=(-sinα)2-(-cosα)cosα+1=sin2α+cos2α+1=2.4.(必修4P21例4改编)若cos=-，则sin的值为.【答案】-【解析】sin=cos=cos=-.5.(必修4P23习题17改编)已知sin=a，那么sin-sin2+1=.【答案】a+a2【解析】sin-sin2+1=sin-sin2+1=sin-cos2+1=sin+sin2=a+a2.1.诱导公式-απ-απ+α2π-α-α+α-α+αsin()-sinαsinα-sinα-sinαcosαcosα-cosα-cosαcos()cosα-cosα-cosαcosαsinα-sinα-sinαsinαtan()-tanα-tanαtanα-tanα////诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不变，符号看象限.2.运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)把求任意角的三角函数值转化为求0°~360°角的三角函数值；(2)把求0°~360°角的三角函数值转化为求0°~90°角的三角函数值；(3)求0°~90°角的三角函数值.【要点导学】要点导学各个击破利用诱导公式进行化简求值例1(1)已知cos(π+α)=-，且<α<2π，求sin(2π-α)的值；(2)已知=2，求tanα的值.【思维引导】将已知条件转化为单角的三角函数，再利用诱导公式求解.【解答】(1)由已知得cosα=.又因为<α<2π，所以sinα<0，所以sin(2π-α)=-sinα=-(-)==.(2)==2，所以-3sinα+cosα=-8sinα+2cosα，所以5sinα=cosα，所以tanα=.【精要点评】使用诱导公式求解三角函数问题时，一要注意函数名是否改变，二要注意符号是否改变.例2已知f(α)=.(1)化简f(α)；(2)若α是第三象限的角，且cos=，求f(α)的值.【思维引导】解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值.特别注意符号以及名称的变化.【解答】(1)f(α)==-cosα.(2)因为cos=-sinα，所以sinα=-，又α是第三象限角，所以cosα=-=-=-，所以f(α)=.【精要点评】重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.变角：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.变式(2014·湖南联考)设α是第三象限角，且tanα=2，则=.【答案】-【解析】原式==cosα，又因为tanα=2，α是第三象限角，所以易得cosα=-.含相同变量的复合角与诱导公式的运用例3已知cos(75°+α)=，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值.【思维引导】结合诱导公式把cos(15°-α)与sin(α-15°)用条件cos(75°+α)=分别求出.【解答】因为cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)，又α是第三象限角，则sin(75°+α)<0，所以sin(75°+α)=-==-.因为sin(α-15°)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]=-cos(75°+α)=-，所以cos(15°-α)+sin(α-15°)=-.【精要点评】利用诱导公式时，要注意已知角与未知角之间的联系.变式1已知sin=a，那么cos=.【答案】-a【解析】cos=cos=-sin=-a.变式2已知sin=，求sin+cos2的值.【解答】因为+=π，+x=π+.所以原式=sin+cos2=-sin+=-+=.例4已知sin(3π-α)=coscos(-α)=-cos(π+β)，0<α<π，0<β<π，求α，β的值.【思维引导】求角的大小必须先求出含这个角的某个三角函数的值，再求出这个角的大小.【解答】由已知等式可得sinα=sinβ，①cosα=cosβ.②两式平方相加，得sin2α+3cos2α=2sin2β+2cos2β=2，即sin2α+3(1-sin2α)=2，则sinα=±.又因为0<α<π，所以sinα=，α=或.当α=时，由①②可得sinβ=，cosβ=，又0<β<π，所以β=；当α=时，由①②可得sinβ=，cosβ=-，又0<β<π，所以β=.故α=，β=或α=，β=.【精要点评】求角的大小时一定要注意角的范围，再结合三角函数值的大小完成.1.已知sin=，那么cosα=.【答案】2.若sin=-，则cos=.【答案】-【解析】cos=cos=sin=-.3.(2015·金陵中...
