第24课两角和与差的三角函数(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4P115练习1改编)已知tanα=4，tanβ=3，那么tan(α+β)=.【答案】-【解析】由题意得tan(α+β)===-.2.(必修4P109习题4改编)计算：sin75°·cos30°-sin15°·sin150°=.【答案】【解析】原式=sin75°cos30°-cos75°sin30°=sin(75°-30°)=sin45°=.3.(必修4P108例1改编)已知sinα=，α∈，cosβ=-，β∈，那么sin(α+β)=.【答案】【解析】由sinα=，α∈，得cosα=-=-.由cosβ=-，β∈，得sinβ=-=-.所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+×=.4.(必修4P118习题5改编)已知tan=，tan=，那么tan(α+β)=.【答案】1【解析】tan(α+β)=tan===1.5.(必修4P131第8题改编)计算：=.【答案】2-【解析】sin7°=sin(15°-8°)=sin15°cos8°-cos15°sin8°，cos7°=cos(15°-8°)=cos15°cos8°+sin15°sin8°，所以原式=tan15°=tan(45°-30°)==2-.1.两角和(差)的三角函数公式(1)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ；(3)tan(α±β)=.2.注意两角和(差)的三角函数公式的变形运用asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中φ满足.3.注意几种常见的角的变换(1)α=(α+β)-β=(α-β)+β；(2)2α=(α+β)+(α-β)；(3)2α=(α+β)-(β-α)；(4)2α+β=α+(α+β).【要点导学】要点导学各个击破利用两角和(差)公式进行化简、求值例1已知sinα=，cosβ=-，且α，β都是第二象限角，求cos(α-β)的值.【解答】因为sinα=，α为第二象限角，所以cosα=-.又因为cosβ=-，β为第二象限角，所以sinβ=.所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-×+×=.目标角与已知角之间的变换例2已知α，β均为锐角，且sinα=，tan(α-β)=-.(1)求sin(α-β)的值；(2)求cosβ的值.【解答】(1)因为α，β∈，所以-<α-β<.又tan(α-β)=-<0，所以-<α-β<0.所以sin(α-β)=-.(2)由(1)可得cos(α-β)=.因为α为锐角，sinα=，所以cosα=.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.变式已知α，β均为锐角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值.【解答】因为sinα=，α为锐角，所以cosα=，又α，β均为锐角，cos(α+β)=-，所以0<α+β<π，所以sin(α+β)=.所以sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=×-×=.例3化简：tan(18°-x)tan(12°+x)+[tan(18°-x)+tan(12°+x)]=.【答案】1【解析】因为tan[(18°-x)+(12°+x)]==tan30°=，所以tan(18°-x)+tan(12°+x)=[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]，于是原式=tan(18°-x)tan(12°+x)+×[1-tan(18°-x)·tan(12°+x)]=1.变式在非直角三角形ABC中，若角A，B，C成等差数列，且tanAtanC=2+，求tanA的值.【思维引导】先确定角B的大小，再由角B的正切值构造tanA与tanC的一个方程，联立条件tanAtanC=2+，即可求得tanA的值.【解答】因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C.又因为A+B+C=π，所以B=，A+C=.所以tanA+tanC=tan(A+C)(1-tanAtanC)=-×[1-(2+)]=3+，又tanAtanC=2+，所以tanA=1或tanA=2+.【精要点评】注意公式的变形使用：tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanαtanβ).利用和与差的三角函数公式求值微课5●典型示例例4已知α，β，γ均为锐角，且tanα=4，tanβ=，tanγ=，求α+β+γ的值.【思维导图】【规范解答】因为α，β，γ均为锐角，且tanα=4，tanβ=，tanγ=，所以<α<，0<β<，0<γ<，所以<α+β+γ<π.所以tan(α+β)==-3，所以tan(α+β+γ)==-1，所以α+β+γ=.●总结归纳(1)求解此类问题的关键在于恰当准确地选择函数，选择的标准是在角的范围内函数值与角要一一对应.(2)一般来说，角的范围为[0，π]时，选择余弦与正切较为恰当；角的范围为时，选择正弦与正切较为恰当；当角的范围超过两个象限时，就需要缩小角的范围.(3)利用两个角的和与差的三角函数求三个角之和时，一般先处理其中的两个角，再求三个角之和.●题组强化1.若α，β均为钝角，且sinα=，cosβ=-，则α+β=.【答案】【解析】因为sinα=，cosβ=-，α，β均为钝角，所以cosα=-，sinβ=.所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=，又因为α，...
