第四章三角函数、解三角形4.6正弦定理、余弦定理教师用书理苏教版1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA
b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).【知识拓展】1.三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.2.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.3.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)(2)在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.(√)(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(×)(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.(×)(5)在△ABC中，＝.(√)(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.(√)1.(教材改编)在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S△ABC＝.答案＋1解析 b＝＝＝＋，∴S△ABC＝absinC＝(＋)×＝＋1.2.(教材改编)在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝.答案解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得＝，即＝，∴c＝.3.(教材改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝，则AB＝.答案1解析方法一在△ABC中，根据余弦定理，即BC2＝AB2＋AC2－2·AB·AC·cos60°，得()2＝AB2＋22－2AB×2×cos60°，整理得AB2－2AB＋1＝0，解得AB＝1.方法二在△ABC中，根据正弦定理，得＝，即＝，解得sinB＝1，因为B∈(0°，180°)，所以B＝90°，所以AB＝＝1.4.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝2，b＝，则B＝.答案解析 A＝120°，a＝2，b＝，∴由正弦定理＝可得，sinB＝sinA＝×＝. A＝120°，∴B＝30°，即B＝.5.(教材改编)在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为.答案7解析由条件知cosA＝＝＝，设AC边上的中线长为x，由余弦定理知x2＝()2＋AB2－2××ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，∴x＝7，故所求中线长为7.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)(2016·南京、盐城调研)在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cosB＝，则c＝.答案7解析因为cosB＝，所以B∈(0，)，从而sinB＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，又由正弦定理得＝，即＝，解得c＝7.(2)(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.①证明：sinAsinB＝sinC；②若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.①证明根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，代入＋＝中，有＋＝，变形可得sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B).在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.所以sinAsinB＝sinC.②解由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cosA＝＝.所以sinA＝＝.由①知，sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinB＝cosB＋sinB.故tanB＝＝4.思维升华应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解.(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝，sinB＝，sinC＝或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝.(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝b，且sin(A－C)＝2cosA...
