（江苏专用）高考数学总复习 考前三个月 附加题高分练6 计数原理、二项式定理和数学归纳法 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

6．计数原理、二项式定理和数学归纳法1．已知等式(1＋x)2n－1＝(1＋x)n－1(1＋x)n.(1)求(1＋x)2n－1的展开式中含xn的项的系数，并化简：CC＋CC＋…＋CC；(2)证明：(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC.(1)解(1＋x)2n－1的展开式中含xn的项的系数为C，由(1＋x)n－1(1＋x)n＝(C＋Cx＋…＋Cxn－1)(C＋Cx＋…＋Cxn)可知，(1＋x)n－1(1＋x)n的展开式中含xn的项的系数为CC＋CC＋…＋CC.所以CC＋CC＋…＋CC＝C.(2)证明当k∈N*时，kC＝k·＝＝n·＝nC，所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝k(C)2]＝(kCC)＝(nCC)＝n(CC)＝n(CC)．由(1)知CC＋CC＋…＋CC＝C，即(CC)＝C，所以(C)2＋2(C)2＋…＋n(C)2＝nC.2．(2017·江苏泰州中学调研)在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知点A(0，－1)，Pn(x，y)，n∈N*.记直线APn的斜率为kn.(1)若k1＝2，求P1的坐标；(2)若k1为偶数，求证：kn为偶数．(1)解因为k1＝2，所以＝＝2，解得x0＝1，y0＝1，所以P1的坐标为(1,1)．(2)证明方法一设k1＝2p(p∈N*)，即＝＝2p.所以x－2px0＋1＝0，所以x0＝p±.因为y0＝x，所以kn＝＝＝x＋，所以当x0＝p＋时，kn＝(p＋)n＋n＝(p＋)n＋(p－)n.同理，当x0＝p－时，kn＝(p＋)n＋(p－)n.①当n＝2m(m∈N*)时，kn＝2pn－2k(p2－1)k，所以kn为偶数．②当n＝2m＋1(m∈N)时，kn＝2pn－2k(p2－1)k，所以kn为偶数．综上，kn为偶数．方法二因为＝x＋＋x＋，所以kn＋2＝k1kn＋1－kn.k2＝x＋＝2－2＝k－2.设命题p(n)：kn，kn＋1均为偶数．以下用数学归纳法证明“命题p(n)是真命题”．①因为k1是偶数，所以k2＝k－2也是偶数．当n＝1时，p(n)是真命题；②假设当n＝m(m∈N*)时，p(n)是真命题，即km，km＋1均为偶数，则km＋2＝k1km＋1－km也是偶数，即当n＝m＋1时，p(n)也是真命题．由①②可知，对n∈N*，p(n)均是真命题，从而kn是偶数．3．(2017·江苏扬州中学模拟)在数列{an}中，an＝cos(n∈N*)(1)试将an＋1表示为an的函数关系式；(2)若数列{bn}满足bn＝1－(n∈N*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论．解(1)an＝cos＝cos＝22－1，∴an＝2a－1，∴an＋1＝±，又n∈N*，n＋1≥2，an＋1＞0，∴an＋1＝.(2)当n＝1时，a1＝－，b1＝1－2＝－1，∴a1＞b1，当n＝2时，a2＝，b2＝1－＝，∴a2＝b2，当n＝3时，a3＝，b3＝1－＝，∴a3＜b3，猜想：当n≥3时，an＜bn，下面用数学归纳法证明．①当n＝3时，由上知，a3＜b3，结论成立．②假设当n＝k，k≥3，n∈N*时，ak＜bk成立，即ak＜1－，则当n＝k＋1时，ak＋1＝＜＝，bk＋1＝1－，要证ak＋1＜bk＋1，即证明2＜2，即证明1－＜1－＋2，即证明－＋2＞0，即证明＋2＞0，显然成立．∴n＝k＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n≥3时，an＜bn成立．综上可得：当n＝1时，a1＞b1；当n＝2时，a2＝b2，当n≥3，n∈N*时，an＜bn.4．已知fn(x)＝Cxn－C(x－1)n＋…＋(－1)kC(x－k)n＋…＋(－1)nC(x－n)n，其中x∈R，n∈N*，k∈N，k≤n.(1)试求f1(x)，f2(x)，f3(x)的值；(2)试猜测fn(x)关于n的表达式，并证明你的结论．解(1)f1(x)＝Cx－C(x－1)＝1，f2(x)＝Cx2－C(x－1)2＋C(x－2)2＝x2－2(x－1)2＋(x－2)2＝2，f3(x)＝Cx3－C(x－1)3＋C(x－2)3－C(x－3)3＝x3－3(x－1)3＋3(x－2)3－(x－3)3＝6.(2)猜测fn(x)＝n！，n∈N*.以下用数学归纳法证明．①当n＝1时，f1(x)＝1，等式成立．②假设当n＝m时，等式成立，即fm(x)＝(－1)kC(x－k)m＝m！.当n＝m＋1时，则fm＋1(x)＝(－1)kC·(x－k)m＋1.因为C＝C＋C，kC＝(m＋1)·C，其中k＝1,2，…，m，且C＝C，C＝C，所以fm＋1(x)＝(－1)kC(x－k)m＋1＝x(－1)kC(x－k)m－(－1)kkC(x－k)m＝x(－1)kC(x－k)m＋x(－1)kC(x－k)m－(m＋1)(－1)kC(x－k)m＝x·m！＋(－x＋m＋1)(－1)kC·[(x－1)－k]m＝x·m！＋(－x＋m＋1)·m!＝(m＋1)·m！＝(m＋1)！.即n＝m＋1时，等式也成立．由①②可知，对n∈N*，均有fn(x)＝n！.