解答题滚动练11．(2017·盐城三模)设△ABC面积的大小为S，且3AB·AC＝2S.(1)求sinA的值；(2)若C＝，AB·AC＝16，求AC.解(1)设△ABC的内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，由3AB·AC＝2S，得3bccosA＝2×bcsinA，得sinA＝3cosA.即sin2A＝9cos2A＝9(1－sin2A)，所以sin2A＝.又A∈(0，π)，所以sinA＞0，故sinA＝.(2)由sinA＝3cosA和sinA＝，得cosA＝，又AB·AC＝16，所以bc·cosA＝16，得bc＝16①又C＝，所以sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.在△ABC中，由正弦定理，得＝，即＝，得c＝b，②联立①②，解得b＝8，即AC＝8.2．(2017·江苏泰兴中学质检)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面AEF⊥平面A1AD.证明(1)连结A1B和A1C.因为E，F分别是侧面AA1B1B和侧面AA1C1C的对角线的交点，所以E，F分别是A1B和A1C的中点，所以EF∥BC.又BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，故EF∥平面ABC.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，所以A1A⊥平面ABC，所以BC⊥A1A.故由EF∥BC，得EF⊥A1A.又因为D是棱BC的中点，且△ABC为正三角形，所以BC⊥AD.故由EF∥BC，得EF⊥AD.而A1A∩AD＝A，A1A，AD⊂平面A1AD，所以EF⊥平面A1AD.又EF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面A1AD.3．如图，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：＋y2＝1(a＞1)．(1)若椭圆C的焦距为2，求a的值；(2)求直线y＝kx＋1被椭圆C截得的线段长(用a，k表示)；(3)若以A(0,1)为圆心的圆与椭圆C总有4个公共点，求椭圆C的离心率e的取值范围．解(1)由椭圆C：＋y2＝1(a＞1)知，焦距为2＝2，解得a＝±，因为a＞1，所以a＝.(2)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长为AP，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，解得x1＝0，x2＝－.因此AP＝|x1－x2|＝·.(3)因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为P，Q，满足AP＝AQ.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，k1和k2一正一负，且k≠k.由(2)知，AP＝，AQ＝，则＝，所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0，因为k≠k，所以1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，变形得，＝1＋a2(a2－2)，从而1＋a2(a2－2)＞1，解得a＞，则e＝＝∈.4．已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且满足a1＋a2＋a3＝9，b1b2b3＝27.(1)若a4＝b3，b4－b3＝m.①当m＝18时，求数列{an}和{bn}的通项公式；②若数列{bn}是唯一的，求m的值；(2)若a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3均为正整数，且成等比数列，求数列{an}的公差d的最大值．解(1)①由数列{an}是等差数列及a1＋a2＋a3＝9，得a2＝3，由数列{bn}是等比数列及b1b2b3＝27，得b2＝3.设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，若m＝18，则有解得或所以{an}和{bn}的通项公式为或②由题设b4－b3＝m，得3q2－3q＝m，即3q2－3q－m＝0，(*)因为数列{bn}是唯一的，所以若q＝0，则m＝0，检验知，当m＝0时，q＝1或0(舍去)，满足题意；若q≠0，则Δ＝(－3)2＋12m＝0，解得m＝－，代入(*)式，解得q＝，又b2＝3，所以{bn}是唯一的等比数列，符合题意．所以m＝0或－.(2)依题意，36＝(a1＋b1)(a3＋b3)，设{bn}公比为q，则有36＝(3＋d＋3q)，(**)记s＝3－d＋，t＝3＋d＋3q，则st＝36.将(**)中的q消去，整理得d2＋(s－t)d＋3(s＋t)－36＝0，d的大根为＝，而s，t∈N*，所以(s，t)的所有可能取值为：(1,36)，(2,18)，(3,12)，(4,9)，(6,6)，(9,4)，(12,3)，(18,2)，(36,1)．所以当s＝1，t＝36时，d的最大值为.
