（江苏专用）高考数学总复习 考前三个月 解答题滚动练2 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

解答题滚动练21．(2017·南京、盐城二模)如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2.(1)如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；(2)如图2，若∠ABC＝，求△ADC的面积．解(1)由已知，得tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，所以tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝1.因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝.(2)以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(0,0)，D(3,0)，C(5,0)．因为∠ABC＝，所以设A(a，a)，其中a＞0.由AD＝6，BD＝3，得(a－3)2＋a2＝62，即2a2－6a－27＝0，解得a＝(1＋)．所以S△ADC＝DC·a＝(1＋)．2．如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的底面为扇形小山(P为圆弧TS上的点)，其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个两边落在BC及CD上的长方形停车场PQCR.(1)设∠PAB＝θ，试将矩形PQCR面积表示为θ的函数；(2)求停车场PQCR面积的最大值及最小值．解(1)SPQCR＝f(θ)＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝8100sinθcosθ－9000(sinθ＋cosθ)＋10000,θ∈.(2)由(1)知SPQCR＝f(θ)＝8100sinθcosθ－9000(sinθ＋cosθ)＋10000，θ∈.令sinθ＋cosθ＝t，则t＝sin∈[1，]．∴SPQCR＝t2－9000t＋10000－，当t＝时，SPQCR取得最小值950(m2)，当t＝时，SPQCR取得最大值14050－9000(m2)．答停车场面积的最大值和最小值分别为14050－9000(m2)和950(m2)．3．如图，点A(1，)为椭圆＋＝1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点．(1)求椭圆方程；(2)若直线AB，AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形．①求直线BC的斜率；②求△ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程．解(1)把点A(1，)代入＋＝1得n＝6，故椭圆方程为＋＝1.(2)①显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直．因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k1，k2，由消去y，得(3＋k)x2＋2k1(－k1)x＋(－k1)2－6＝0，∴点B的横坐标为x＝1－(x＝1为点A的横坐标)，∴点B的纵坐标为y＝－，即B.同理可得点C的坐标为C.∵k1＋k2＝0，∴直线BC的斜率为kBC＝.②设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC的方程为y＝x＋m，代入方程＋＝1得6x2＋2mx＋m2－6＝0，∴x1＋x2＝－m，x1x2＝，∴BC＝·|x1－x2|＝2·＝，又点A到直线BC的距离为d＝，∴S△ABC＝BC·d＝＝，∴当m2＝6，即m＝或m＝－时，△ABC面积取得最大值.此时，直线BC的方程为y＝x±.4．已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，且图象过点(－1,2)，求f(x)的解析式；(2)若x＝1和x＝2是函数f(x)的两个极值点．①求a，b的值；②求函数f(x)在区间[0,3]上的零点个数．解(1)因为函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2(－x)3＋a(－x)2＋b(－x)＋c＝－2x3－ax2－bx－c，整理得，ax2＋c＝0，所以a＝c＝0，从而f(x)＝2x3＋bx，又函数f(x)图象过点(－1,2)，所以b＝－4.从而f(x)＝2x3－4x.(2)①f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数f′(x)＝6x2＋2ax＋b.因为f(x)在x＝1和x＝2处取得极值，所以f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得a＝－9，b＝12.②由①得f(x)＝2x3－9x2＋12x＋c(c∈R)，f′(x)＝6(x－1)(x－2)．列表：x0(0,1)1(1,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)c单调增5＋c单调减4＋c单调增9＋c显然，函数f(x)在[0,3]上的图象是一条不间断的曲线．由表知，函数f(x)在[0,3]上的最小值为f(0)＝c，最大值为f(3)＝9＋c.所以当c＞0或9＋c＜0(即c＜－9)时，函数f(x)在区间[0,3]上的零点个数为0.当－5＜c＜0时，因为f(0)f(1)＝c(5＋c)＜0，且函数f(x)在(0,1)上是单调增函数，所以函数f(x)在(0,1)上有1个零点．当－5＜c＜－4时，因为f(1)f(2)＝(5＋c)(4＋c)＜0，且f(x)在(1,2)上是单调减函数，所以函数f(x)在(1,2)上有1个零点．当－9＜c＜－4时，因为f(2)f(3)＝(4＋c)(9＋c)＜0，且f(x)在(2,3)上是单调增函数，所以函数f(x)在(2,3)上有1个零点．综上，当c＞0或c＜－9时，函数f(x)在区间[0,3]上的零点个数为0；当－9≤c＜－5或－4＜c≤0时，零点个数为1；当c＝－4或c＝－5时，零点个数为2；当－5＜c＜－4时，零点个数3.