（江苏专用）高考数学总复习 考前三个月 解答题滚动练5 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

解答题滚动练51．已知α∈(0，π)，且sin＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．解方法一联立⇒4sin2α－(－)sinα－(1＋)＝0，解得sinα＝或sinα＝－，因为α∈(0，π)，所以sinα＝，所以cosα＝.(1)sin＝sinαcos－cosαsin＝×－×＝×＝.(2)sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝－.cos＝cos2αcos＋sin2αsin＝－.方法二因为α∈(0，π)，sin＝＜，所以<α＋<，sin＝sin＝sincos－cossin＝，所以α＋＝，所以α＝.(1)sin＝sin＝sin＝.(2)cos＝cos＝cos＝－.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC＝120°，PA＝AB＝1，PD＝2，N为PD的中点．(1)求证：AD⊥平面PAB；(2)求证：CN∥平面PAB.证明(1)因为BD垂直平分AC，所以BA＝BC，在△ABC中，因为∠ABC＝120°，所以∠BAC＝30°.因为△ACD是正三角形，所以∠DAC＝60°，所以∠BAD＝90°，即AD⊥AB.因为AB＝1，∠ABC＝120°，所以AD＝AC＝，又因为PA＝1，PD＝2，由PA2＋AD2＝PD2，知∠PAD＝90°，即AD⊥AP.因为AB，AP⊂平面PAB，AB∩AP＝A，所以AD⊥平面PAB.(2)方法一取AD的中点H，连结CH，NH.因为N为PD的中点，所以HN∥PA，因为PA⊂平面PAB，HN⊄平面PAB，所以HN∥平面PAB.由△ACD是正三角形，H为AD的中点，所以CH⊥AD.由(1)知，BA⊥AD，所以CH∥BA，因为BA⊂平面PAB，CH⊄平面PAB，所以CH∥平面PAB.因为CH，HN⊂平面CNH，CH∩HN＝H，所以平面CNH∥平面PAB.因为CN⊂平面CNH，所以CN∥平面PAB.方法二取PA的中点S，过C作CT∥AD交AB的延长线于T，连结ST，SN.因为N为PD的中点，所以SN∥AD，且SN＝AD，因为CT∥AD，所以CT∥SN.由(1)知，AB⊥AD，所以CT⊥AT，在Rt△CBT中，BC＝1，∠CBT＝60°，得CT＝.由(1)知，AD＝，所以CT＝AD，所以CT＝SN.所以四边形SNCT是平行四边形，所以CN∥TS.因为TS⊂平面PAB，CN⊄平面PAB，所以CN∥平面PAB.3．已知圆O：x2＋y2＝4，两个定点A(a,2)，B(m,1)，其中a∈R，m>0.P为圆O上任意一点，且＝k(k为常数)．(1)求常数k的值；(2)过点E(a，t)作直线l与圆C：x2＋y2＝m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．解(1)设点P(x，y)，x2＋y2＝4，PA＝，PB＝，因为＝k，所以(x－a)2＋(y－2)2＝k2[(x－m)2＋(y－1)2]，又x2＋y2＝4，化简得2ax＋4y－a2－8＝k2(2mx＋2y－m2－5)，因为P为圆O上任意一点，所以又m＞0，k＞0，解得所以常数k＝.(2)方法一设M(x0，y0)，M是线段NE的中点，N(2x0－2,2y0－t)，又点M，N在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x＋4ty－t2－7＝0与圆C：x2＋y2＝1有交点，则点(0,0)到直线n的距离d＝≤1，化简得，t4－2t2－15≤0，解得t∈[－，]．方法二设过E的切线与圆C切于切点F，EF2＝EM·EN，又M是线段NE的中点，所以EN＝2MN，EM＝MN，所以EF2＝2MN2，又EF2＝EC2－CF2＝22＋t2－1＝t2＋3，MN≤2，所以t2＋3≤8，所以t∈[－，]．4．已知函数f(x)＝－x2－(2a＋1)x＋lnx，且该函数在x＝1处取得极值．(1)求实数a的值，并求出函数的单调区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－b＋在区间(0,2018)上只有一个零点，求实数b的值．解(1)由已知，得f′(x)＝－2x－2a－1＋，据题意，f′(1)＝0，得到a＝－1，所以f(x)＝－x2＋x＋lnx，f′(x)＝－2x＋1＋＝.由x＞0，令f′(x)＞0，得0＜x＜1，令f′(x)＜0，得x＞1，所以函数f(x)在x＝1处取得极值，所以a＝－1，f(x)的单调增区间为(0,1)，f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．(2)g(x)＝f(x)－b＋＝－x2＋＋lnx－b，x∈(0，2018)．则g′(x)＝－2x＋＋，令g′(x)＝0,得x＝2，负值舍去．当0＜x＜2时，g′(x)＞0，g(x)的单调增区间为(0,2)，当2＜x＜2018时，g′(x)＜0，g(x)的单调减区间为(2，2018)．所以函数g(x)＝f(x)－b＋在区间(0,2018)上只有一个零点，等价于g(2)＝0，解得b＝ln2＋3.