解答题滚动练61．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin＝2cosA.(1)若cosC＝，求证：2a－3c＝0；(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sinB.(1)证明因为sin＝2cosA，得sinA＋cosA＝2cosA，即sinA＝cosA，因为A∈(0，π)，且cosA≠0，所以tanA＝，所以A＝.因为sin2C＋cos2C＝1，cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝，由正弦定理知＝，即＝＝＝，即2a－3c＝0.(2)解因为B∈，所以A－B＝－B∈，因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，所以sin(A－B)＝，所以sinB＝sin(A－(A－B))＝sinAcos(A－B)－cosA·sin(A－B)＝.2．已知函数f(x)＝ax3－2x－lnx，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝b，求a＋b的值；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)零点的个数．解(1)f′(x)＝3ax2－2－，由题意，f′(1)＝0，f(1)＝b，解得，a＝1，b＝－1，所以a＋b＝0.(2)由(1)知，f(x)＝x3－2x－lnx，f′(x)＝3x2－2－＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1，且当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝－1＜0，f＝－＋1＞0，f(e)＝e3－2e－1＞0，函数f(x)在区间和[1，e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，知函数f(x)有两个零点．3．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；(3)求线段AB长度的最小值．解(1)由题意可知，圆M的半径r＝2，设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，A为切点，所以∠MAP＝90°，所以MP＝＝＝4，解得b＝0或b＝，所以P(0,0)或P.(2)设P(2b，b)，因为∠MAP＝90°，所以经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，其方程为(x－b)2＋2＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.由解得或所以圆过定点(0,4)，.(3)因为圆N方程为(x－b)2＋2＝，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0.①圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0.②②－①得圆M与圆N的相交弦AB所在直线方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，点M到直线AB的距离d＝，相交弦长AB＝2＝4＝4.当b＝时，AB有最小值.4．如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽m(从拐角处，即图中A，B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为θ，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．解(1)由题意，PA＝，QA＝，所以l＝PA＋QA＝＋.(2)设f(θ)＝＋，θ∈.由f′(θ)＝－＋＝，令f′(θ)＝0，得tanθ0＝.且当θ∈(0，θ0)，f′(θ)＜0；当θ∈，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，θ0)上单调递减，在上单调递增，所以当θ＝θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．当tanθ0＝时，sinθ0＝，cosθ0＝，所以f(θ)的最小值为3，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3m.因为3＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．
