（江苏专用）高考数学总复习 考前三个月 考前回扣9 矩阵与变换 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

回扣9矩阵与变换1．矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a11a12]与列矩阵的乘法规则为[a11a12]＝[a11×b11＋a12×b21]，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为＝.一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.2．几种常见的平面变换(1)恒等变换．(2)伸压变换．(3)反射变换．(4)旋转变换．(5)投影变换．(6)切变变换．3．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A＝(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝.(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.②已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组若将X＝看成是原先的向量，而将B＝看成是经过系数矩阵A＝(ad－bc≠0)对应的变换作用后得到的向量，则可将其记为矩阵方程AX＝B，＝，则X＝A－1B，其中A－1＝.4．二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征向量的几何意义从几何上看，特征向量经过矩阵A对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了0向量．(3)特征多项式设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则A＝λ，即满足二元一次方程组故(*)由特征向量的定义知α≠0，因此x，y不全为0，此时Dx＝0，Dy＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必有D＝0，即＝0.定义：设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．(4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解，于是，非零向量即为A的属于λ的一个特征向量．1．矩阵的乘法不满足交换律：对于二阶矩阵A，B来说，尽管AB，BA均有意义，但可能AB≠BA.矩阵的乘法满足结合律：设M，N，P均为二阶矩阵，则一定有(MN)P＝M(NP)．矩阵的乘法不满足消去律：设A，B，C为二阶矩阵，当AB＝AC时，可能B≠C.2．关于乘法的消去律：已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.3．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．4．对于图象变换，一定要分清哪个是变换前的，哪个是变换后的，以及变换的途径，防止因颠倒而出错．1．(2017·苏州期末)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵C，使得AC＝B.解因为AC＝B，所以C＝A－1B.由|A|＝＝6－1＝5，得A－1＝.所以C＝＝＝2．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设矩阵A满足A＝，求矩阵A的逆矩阵A－1.解A＝－1＝·＝，因为|A|＝－，所以A－1＝.3．(2017·南京学情调研)已知矩阵A＝，B＝，设M＝AB.(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值．解(1)M＝AB＝＝.(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－3)－2＝λ2－5λ＋4，令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝4，所以矩阵M的特征值为1和4.4．(2017·苏北四市模拟)求椭圆C：＋＝1在矩阵A＝对应的变换作用下所得的曲线的方程．解设椭圆C上的点(x1，y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x，y)，则＝＝，则代入椭圆方程＋＝1，得x2＋y2＝1，所以所求曲线的方程为x2＋y2＝1.5．已知实数a，b，矩阵A＝对应的变换将直线x－y－1＝0变换为自身，求a，b的值．解设直线x－y－1＝0上任意一点P(x，y)在变换TA的作用下变成点P′(x′，y′)，由＝，得因为点P′(x′，y′)在直线x－y－1＝0上，所以x′－y′－1＝0，即(－1－b)x＋(a－3)y－1＝0.又P(x，y)在直...