（江苏专用）高考数学总复习 考前三个月 考前回扣10 极坐标与参数方程 理-人教版高三数学试题VIP专享VIP免费

回扣10极坐标与参数方程1．直线的极坐标方程若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且直线l的倾斜角为α，则它的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线l过极点：θ＝α.(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a.(3)直线l过点M且平行于极轴：ρsinθ＝b.2．圆的极坐标方程圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.(2)圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ.(3)圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsinθ.3．常见曲线的参数方程(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)．(2)圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．(3)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．(4)抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)．(5)过定点P(x0，y0)且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．4．直角坐标与极坐标的互化把平面直角坐标系的原点O作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则1．研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．2．在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．3．把参数方程转化为普通方程的过程中要注意参数的范围，保证转化前后的等价．参数方程要指明参数，参数变化了，参数方程表示的曲线也发生变化．1．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．解直线l的普通方程是4x－3y－4＝0，曲线C的普通方程是y2＝4x.由解得或取A，B(4,4)，所以AB＝＝.2．在极坐标系中，已知点A，圆C的方程为ρ＝4sinθ(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程．解方法一以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝8，圆心C(0,2)，A的直角坐标为(，)．直线AC的斜率kAC＝＝－1，所以直线AC的直角坐标方程为y＝－x＋2，极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝2，即ρsin＝2.方法二在直线AC上任取一点M(ρ，θ)，不妨设点M在线段AC上．由于圆心为C，S△OAC＝S△OAM＋S△OCM，所以×2×2sin＝×2×ρsin＋×ρ×2sin，即ρ(cosθ＋sinθ)＝2，化简得AC的极坐标方程为ρsin＝2.3．(2017·南京学情调研)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin＝m.若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．解曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．直线l的极坐标方程为ρsin＝m，即ρcosθ＋ρsinθ＝m，化为直角坐标方程为x＋y－2m＝0.因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，所以直线l到曲线C的距离d＝＝1，解得m＝－或m＝.所以实数m的值为－或.4．(2017·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．解直线l：(t为参数)化为普通方程为4x－3y＝0，圆C的极坐标方程ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，则圆C的圆心到直线l的距离d＝＝，所以AB＝2＝.5．已知直线l的极坐标方程为ρsin＝3，曲线C的参数方程为(θ为参数)，设点P是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值．解由ρsin＝3，可得ρ＝3，所以y－x＝6，即x－y＋6＝0.由得x2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，所以圆心到直线l的距离d＝＝＝3，所以点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.6．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsin＝，椭圆C的参数方程为(t为参数)．(1)求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．解(1)由ρsin＝，得ρ＝，即x－y＝，化简得y＝x－，所以直线l的直角坐标方程是x－y－＝0.由2＋2＝cos2t＋sin2t＝1，得椭圆C的普通方程为＋＝1.(2)联立直线方程与椭圆方程，得消去y，得＋(x－1)2＝1，化简得5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝，所以A(0，－)，B，则AB＝＝.