小题满分练51．(2017·苏州期末)已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜3}，则集合A∩B＝________.答案(1,3)2．(2017·常州期末)某单位有老年人20人，中年人120人，青年人100人，现用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为n的样本，已知从青年人中抽取的人数为10，则n＝________.答案24解析由分层抽样可得＝＝，故n＝24.3．设复数z满足z(1＋i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数为__________．答案3－i解析由z＝＝＝(1＋2i)(1－i)＝3＋i，则＝3－i.4．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为__________．答案解析从两盒中随机各取一球，没有红球的概率为×＝，故至少有一个红球的概率为1－＝.5．(2017·镇江期末)将函数y＝5sin的图象向左平移φ个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称，则φ＝________.答案解析向左平移φ个单位长度后所得函数解析式为y＝5sin.因为其图象关于y轴对称，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.又因为0＜φ＜，所以φ＝.6．如图所示的流程图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是________．答案(1,2)解析模拟执行流程图，可得其功能为计算并输出分段函数f(x)＝的值，如果输出的函数值在区间内，即y∈(3－2,3－1)，从而解得x∈(1,2)．7．(2017·深圳调研)若实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为12，最小值为0，则实数k＝________.答案3解析作出可行域如图，目标函数y＝kx－z，当k≤0时，显然最小值不可能为0，当k>0时，当y＝kx－z过点(1,3)时z取最小值，解得k＝3，此时y＝kx－z过点(4,0)时有最大值，符合题意，故k＝3.8．在△ABC中，D为线段BC的中点，AB＝2AC＝2,tan∠CAD＝sin∠BAC，则BC＝________.答案解析如图：设∠CAD＝α，∠BAD＝β，则∠CAB＝α＋β，由正弦定理得＝，＝，又sin∠ADC＝sin∠ADB，AB＝2AC，∴sinα＝2sinβ，由题意知tan∠CAD＝sin∠BAC，即tanα＝sin(α＋β)，即＝sin(α＋β)，故sinα＝sin(α＋β)·cosα，从而可得2sinβ＝sin(α＋β)·cosα.变形得2sin＝sin(α＋β)·cosα，展开得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα，又cosα≠0，两边同除以cosα，得sin(α＋β)＝2cos(α＋β)·tanα，又tanα＝sin(α＋β)，∴2cos(α＋β)＝1，∴cos(α＋β)＝，即cos∠BAC＝.由余弦定理，得BC＝＝＝.9．(2017·无锡期末)设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3＝－，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的前4项和为________．答案解析设{an}的公比为q，q≠1.由等比中项的性质可得a1a2a3＝a＝－，所以a2＝－.因为a2，a4，a3成等差数列，所以2a4＝a2＋a3，即2a2q2＝a2＋a2q，化简得2q2－q－1＝0，即(q－1)(2q＋1)＝0，解得q＝1(舍)或q＝－.又因为a1＝＝1，所以S4＝＝＝.10．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)答案④解析①b和c可能异面，故①错；②可能c⊂α，故②错；③可能c∥β，c⊂β，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确．11．已知函数f(x)＝－x2＋2x，则不等式f(log2x)
2，解得x∈(0,1)∪(4，＋∞)．12．(2017·巴蜀中学三模)已知P为函数y＝的图象上任一点，过点P作直线PA，PB分别与圆x2＋y2＝1相切于A，B两点，直线AB交x轴于M点，交y轴于N点，则△OMN的面积为________．答案解析设P，则PO2＝x＋，PA2＝PB2＝PO2－12＝x＋－1，故以P为圆心，PA为半径的圆的方程为2＋2＝x＋－1，联立x2＋y2＝1，两圆方程作差可得直线AB的方程为x0x＋y－1＝0，故M，N，所以△OMN的面积为··＝.13．已知函数f(x)＝x|x2－a|，若存在x∈[1,2]，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．答案(－1,5)解析方法一当x∈[1,2]时，f(x)<2等价于|x3－ax|<2，即－2
