3．空间平行与垂直1．(2017·南京学情调研)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为线段A1B，AC1的中点．(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD.证明(1)如图，连结A1C，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形，又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C.又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC.由(1)知MN∥BC，所以MN⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝PC，求证：CG⊥平面PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面PAC，因为CG⊂平面PAC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．如图，已知平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，PE∥CB，M是AE的中点．(1)若N是PA的中点，求证：平面CMN⊥平面PAC；(2)若MN∥平面ABC，求证：N是PA的中点．证明(1)因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAC，因为M，N分别为AE，AP的中点，所以MN∥PE，又因为PE∥BC，所以MN∥BC，即MN⊥平面PAC，又MN⊂平面CMN，所以平面CMN⊥平面PAC.(2)因为PE∥CB，BC⊂平面ABC，PE⊄平面ABC，所以PE∥平面ABC，设平面PAE与平面ABC的交线为l，则PE∥l.又MN∥平面ABC，MN⊂平面PAE，所以MN∥l.所以MN∥PE，因为M是AE的中点，所以N为PA的中点．4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱BC上一点．(1)若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2)若A1B∥平面ADC1，求的值．(1)证明因为AB＝AC，点D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以BB1⊥AD.因为BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.因为AD⊂平面ADC1，所以平面ADC1⊥平面BCC1B1.(2)解连结A1C，交AC1于O，连结OD，所以O为A1C的中点．因为A1B∥平面ADC1，A1B⊂平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD.因为O为A1C的中点，所以D为BC的中点，所以＝1.
