一、选择题1．(2012·秦皇岛质检)若函数f(x)＝x3(x∈R)，则函数y＝f(－x)在其定义域上是()A．单调递减的偶函数B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数D．单调递增的奇函数解析：选B.y＝f(－x)＝－x3.2．(2011·高考辽宁卷)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝()A.B.C.D．1解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，∴＝－，∴(2a－1)x＝0，∴a＝.3．对于定义在R上的任何奇函数，均有()A．f(x)·f(－x)≤0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)＞0D．f(x)－f(－x)＞0解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.4．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则()A．f(3)＜f(－2)＜f(1)B．f(1)＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3)D．f(3)＜f(1)＜f(－2)解析：选A.由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3＞2＞1，∴f(3)＜f(2)＜f(1)，即f(3)＜f(－2)＜f(1)，故选A.5.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝D．y＝解析：选C.利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝在(－2,0)上为增函数．故选C.二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1.答案：－－17．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)＝________.解析：∵函数f(x)，g(x)均为奇函数，∴f(a)＋f(－a)＝0，g(a)＋g(－a)＝0，∴F(a)＋F(－a)＝3f(a)＋5g(a)＋2＋3f(－a)＋5g(－a)＋2＝4，∴F(－a)＝4－F(a)＝4－b.答案：4－b8．若存在常数p＞0，使得函数f(x)满足f(px)＝f(x∈R)，则f(x)的一个正周期为________．解析：f＝f＝f＝f(x)，所以，函数f(x)是以为周期的周期函数．答案：三、解答题9．f(x)为定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，f(x)＝，求f(x)在(－1,1)上的解析式．解：令x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，f(－x)＝.又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－＝－.又f(0)＝0，∴f(x)＝10．若函数f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋2是定义在[－2,2]上的偶函数，求此函数的值域．解：法一：若a＝0，则f(x)＝x＋2不是偶函数，∴a≠0.故f(x)为二次函数，对称轴为直线x＝.又∵y＝f(x)为偶函数，∴＝0，∴a＝－1.∴f(x)＝－x2＋2，值域为[－2,2]．法二：∵y＝f(x)在x∈[－2,2]上是偶函数，∴对任意x∈[－2,2]，都有f(－x)＝f(x)，即ax2－(a＋1)x＋2＝ax2＋(a＋1)x＋2，∴2(a＋1)x＝0.∵x∈[－2,2]，∴a＋1＝0，即a＝－1.(下略)11．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x＋)－(x＋)＝(x1＋x2)(x1－x2)＋＝(x1－x2)(x1＋x2－)．由于x1≥2，x2≥2，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＞，所以f(x1)＜f(x2)，故f(x)在[2，＋∞)上是单调递增函数．
