1向量法在立体几何中的应用宝泉岭高级中学李鹏近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,不用作图而直接计算。下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题时得到的一些方法进行归类和梳理。一、用向量法处理空间角问题1、用向量求两条异面直线所成的角求异面直线nm,所成的角，我们只需要分别在直线nm,上取定方向向量,,ba则异面直线nm,所成的角等于向量ba,所成的角或其补角（如图1所示），即bababa,coscos。【例题】如图2，底面ABCD为直角梯形，90ABC，PB面ABCD，22CDBPBCBA，E为PD的中点。求异面直线BD与PA所成角的大小解：如图3建立空间直角坐标系xyzB，则有0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0APDB得2,2,0,0,1,2PABD，设异面直线BD与PA所成角的大小为，则，1010852,coscosPABDPABDPABD1010arccos，即异面直线BD与PA所成角的大小为1010arccos。利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。题中通过PABD,cos值，求出两向量的夹角可能是钝角或直角或锐角，因异面直线所成的角的范围是2,0，故加绝对值，便可直接求得所要求的角。2、用向量求直线与平面所成的角Cn图1DABnmabBCDPAxyz图3BCDPA图2BCDPA图52如图4，求直线L和平面所成的角，只需在L上取定CP，n是平面的法向量，再求|||CP||CP|cosnn，则2为所求的角.【例题】如图5，底面ABCD为直角梯形，90ABC，PB面ABCD，22CDBPBCBA，E为PD的中点，求直线CP与面ADP所成角的大小；解：如图6，建立空间直角坐标系xyzB，则有2,0,0,0,1,2,0,0,2,0,2,0PDCA，故2,0,2CP2,1,2,2,2,0DPAP设面ADP的一个法向量为zyxn,,1，则有02202200zyxzyDPnAPnDPnAPn令1y得1z，21x，即1,1,211n，设直线CP与面ADP所成角的大小为，故622381||||,cossin111nCPnCPnCP，62arcsin即直线CP与面ADP所成角的大小为62arcsin。在本例题中由线面角的范围为2,0，又直线的方向向量CP与法向量n所成角的范围,0，故线面角2，得直线CP与面ADP所成角nCPnCPnCPnCParcsinarccos23、用向量求二面角的大小如图7，求平面和的二面角的平面角的大小，设21,nn分别为二面角的两个半平面的法向量，二面角的大小转化为两个法向量的夹角或它的补角；可由212121,coscosnnnnnn求得值，再观察二面角，若是锐二面角则二面角大小，若二面角为钝二面角则二面角大小。而在几何法中，求二面BCDPAxyz图6LCPn图42n1n图73角的平面角的大小，首先得找出平面角是哪个，这是比较困难的事情。【例题】如图8，底面ABCD为直角梯形，90ABC，PB面ABCD，22CDBPBCBA，E为PD的中点，求面CDP与面ADP所成二面角的大小。解：如图9，建立空间直角坐标系xyzB则有,2,0,0,0,1,2,0,0,2PDC0,1,0,2,0,2CDCP设面CDP的一个法向量为zyxn,,2，则有002200yzxCDnCPnCDnCPn,令1x得1z，即1,0,12n，又面ADP的一个法向量为1,1,211n，故2224923,coscos212121nnnnnn，所以4，显然二面角为钝二面角，即面CDP与面ADP所成二面角的大小为43.在用向量求二面角的大小时，我们是先求出两半平面的法向量所在直线的夹角，但二面角可能是钝角或锐角，因此在求出角后，应判断二面角的大小，再确定二面角就是两半平面的法向量所在直线的夹角或是其补角。二、用向量法处理空间距离问题1、求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是AD1的中点，Q是BD上一点，DQ=41DB，求P、Q两点间的距离.解如图1，以1DDDCDA、、所在的直线分别为x轴、y轴和zABCDQPA1B1C1D1yxz图10BCDPA图8BCDPAxyz图94轴建立空间直角坐标系D-xyz，则0)4141(Q)21021(，，、，，P，所以)21－4141(－PQ，，.故46PQ,即P、Q两点的距离为46.2、求点到直线之间的距离如图11，P为直线a外一点，Q为a上任意一点，PO⊥a于点O，所以点P到直线a的距离为|PO|=d.则有QOQPcosQOQPQOQP，，所以QOQPQOQ...
