微分方程和差分方程作业题专业：土规1101班姓名：刘迈克学号：2011306200521微分方程模型作业：1．用matlab求解微分方程组00dxxydtdyxydt（1）求在初始条件0|,1|00ttyx下的特解，并画出解函数()yfx的图形．（2）分别用ode23、ode45求此微分方程组初值问题的数值解(近似解)，求解区间为[0,2]t．利用画图来比较两种求解器之间的差异．解：程序：[x,y]=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0',...'x(0)=1','y(0)=0','t')ezplot(x,y,[0,5]);（1）xtttteeee222242422121424222tteey（2）先编写函数文件verderpol.mfunctionxprime=verderpol(t,x)xprime=[-x(1)-x(2);-x(1)+x(2)];再编写脚本文件vdpl.m，在命令窗口直接运行该文件clear;y0=[1;0];[t,x]=ode45（23）('verderpol',[1,40],y0);plot(t,x(:,1),'or-');ode45求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解)Ode23求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解)两种求解器之间的差异：由图像可知，Ode45求解器的图像中点数比较多，更加精确。2．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？解：分析：设t时刻（单位为分钟）净盐量为x(t)（单位:kg/l），考虑时间区间为[t,t+△t]。txdtdx100*210)0(x程序：x=dsolve('Dx=-2*x/(100+t)','x(0)=10','t');结果：2)100(100000tx程序：ezplot(x);结果：当t=60时，x=3.90253.医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。解：方法一：快速静脉注射微分方程0kxdtdxDx)0(结果ktDetx)(kteVDtc)(方法二：恒速静脉点滴方程0Kkxdtdx0)0(x解为)1()(0ktekKtx)1()(0kteVkKtc（为第一次点滴，时间T1）第二次点滴初始值)1()()1(0TtkeVkKtc方法三：口服药或肌注方程tkDekkxdtdx110)0(x解得)()(111tkkteekkDktx)()()(111tkkteekkVDktc由分析可知，第二种效果更好一些。4.早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（dVVdt，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ∈(7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式302tDD.(3)正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一。手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于105个时即可凭借体内免疫系统杀灭。解：（1）dVVdt，其中λ为常数tceV（其中c为常数）当,20VV2ln（2）302tDD561DV33)(DdtDd332DdtdDD2ln32lnDdtdD因为t=0时，0DD所以302tDD（3）假设，不考虑杀死免疫细胞从而影响人类免疫功能，一位病人癌细胞直径为1cm，癌细胞含量为610，治疗打算用17/2天使癌细胞减少到可杀死水平，每两次治疗的间隔为1/2,用9次治疗使癌细胞得到控制。程序：clear;clc;forx=1:900000k=1000000-x;fori=1:9k=sqrt(2)*k-x;endifk<=100000breakendendx解得，x=301006.每隔1/2进行一次放射性治疗，强度为杀死301006个癌细胞。差分方程模型作业：5．某保险公司推出与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为：如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20岁至60岁，则在他生存期间，45岁时（投保满5年）可获返还补贴4000元，50岁时（投保满10年）可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴。另外，在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元。试建...
