函数1.函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。【例2】（1）已知函数()fx，xF，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}xyyfxxFxyx中所含元素的个数有个.（2）若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间]2,2[b，则b＝2.同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。【例3】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2yx，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个3.求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中0,0xa且1a，三角形中0A,最大角3，最小角3等。【例4】（1）函数24lg3xxyx的定义域是____（2）若函数2743kxykxkx的定义域为R，则k_______.（3）函数()fx的定义域是[,]ab，0ba，则函数()()()Fxfxfx的定义域是__________（4）（重要题型）设函数2()lg(21)fxaxx，①若()fx的定义域是R，求实数a的取值范围；②若()fx的值域是R，求实数a的取值范围。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：①若已知()fx的定义域为[,]ab,其复合函数[()]fgx的定义域由不等式()agxb解出即可；②若已知[()]fgx的定义域为[,]ab,求()fx的定义域，相当于当[,]xab时，求()gx的值域（即()fx的定义域）。【例5】（1）若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为__________（2）若函数2(1)fx的定义域为[2,1)，则函数()fx的定义域为________4.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]mn上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），【例6】（1）求函数225,[1,2]yxxx的值域:（2）当]2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a的取值范围是_（3）已知()3(24)xbfxx的图像过点（2,1），则1212()[()]()Fxfxfx的值域为______（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，【例7】（1）22sin3cos1yxx的值域为_____（2）211yxx的值域为_____（3）sincossincosyxxxx的值域为____（4）249yxx的值域为____（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，【例8】求函数2sin11siny，313xxy，2sin11cosy的值域?（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，【例9】求1(19)yxxx，229sin1sinyxx，532log1xyx的值域?（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，【例10】（1）已知点(,)Pxy在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围?（2）求函数22(2)(8)yxx的值域?（3）求函数2261345yxxxx及2261345yxxxx的值域?（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2bykx型，可直接用不等式性质，【例11】求232yx的值域?②2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式，【例12】（1）求21xyx的值域（2）求函数23xyx的值域③22xmxnyxmxn型，通常用判别式法；【例13】已知函数2328log1mxxnyx的定义域为R，值域为[0，2]，求常数,mn的值?④2xmxnymxn型，可用判别式法或均值不等式法，【例14】求211xxyx的值域（7）不等式法――利用基本不等式：2(,)abababR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。【例15】设12,,,xaay成等差数列，12,,,xbby成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是...
